¿Qué dice la relatividad general sobre las velocidades relativas de los objetos que están lejos unos de otros? En particular:--
¿Pueden las galaxias lejanas alejarse de nosotros a velocidades más rápidas que $c$ ? ¿Se pueden analizar los corrimientos al rojo cosmológicos como desplazamientos Doppler? ¿Puedo aplicar una transformación de Lorentz en la relatividad general?
¿Qué dice la relatividad general sobre las velocidades relativas de los objetos que están lejos unos de otros?
Nada. La relatividad general no proporciona una forma definida de medir la velocidad de los objetos que están lejos unos de otros. Por ejemplo, no hay un valor bien definido para la velocidad de una galaxia con respecto a otra a distancias cosmológicas. Se puede decir que es algún número grande, pero es igualmente válido decir que ambas están en reposo y que el espacio entre ellas se está expandiendo. Ninguna de las dos descripciones verbales es preferible a la otra en la RG. En la RG sólo se definen de forma única las velocidades locales, no las globales.
La confusión en este punto está en la raíz de muchos otros problemas para entender la RG:
Pregunta: ¿Cómo es posible que las galaxias lejanas se alejen de nosotros a más de la velocidad de la luz?
Respuesta: No tienen ninguna velocidad bien definida con respecto a nosotros. El límite de velocidad relativista de c es local, no global, precisamente porque la velocidad no está bien definida globalmente.
Pregunta: ¿El límite del universo observable se produce en el lugar en el que la velocidad de Hubble relativa a nosotros es igual a c, de modo que el corrimiento al rojo se aproxima al infinito?
Respuesta: No, porque esa velocidad no está definida de forma única. Para una definición bastante popular de la velocidad (basada en las distancias medidas por reglas en reposo con respecto al flujo de Hubble), podemos observar realmente galaxias que se alejan de nosotros a >c, y que siempre se han alejado de nosotros a >c.[Davis 2004].
Pregunta: Una galaxia lejana se aleja de nosotros a un 99% de la velocidad de la luz. Eso significa que tiene una enorme cantidad de energía cinética, que equivale a una enorme cantidad de masa. ¿Significa eso que su atracción gravitatoria hacia nuestra galaxia es muy superior?
Respuesta: No, porque podríamos describirlo igualmente como si estuviera en reposo respecto a nosotros. Además, la relatividad general no describe la gravedad como una fuerza, sino como una curvatura del espaciotiempo.
Pregunta: ¿Cómo se aplica una transformación de Lorentz en la relatividad general?
Respuesta: La relatividad general no tiene transformaciones globales de Lorentz, y una forma de ver que no puede tenerlas es que tal transformación implicaría las velocidades relativas de objetos distantes. Estas velocidades no están definidas de forma única.
Pregunta: ¿Qué parte del corrimiento al rojo cosmológico es cinemática y qué parte es gravitacional?
Respuesta: La cantidad de corrimiento cinemático depende de la velocidad de la galaxia lejana con respecto a nosotros. Esa velocidad no está bien definida, por lo que se puede decir que el corrimiento al rojo es 100% cinemático, 100% gravitacional o cualquier cosa intermedia.
Veamos con más detalle el último punto, sobre el desplazamiento al rojo cinemático frente al gravitacional. Supongamos que un fotón es observado después de haber viajado a la Tierra desde una galaxia lejana G, y se encuentra desplazado al rojo. Alice, a quien le gusta la expansión, lo explicará diciendo que mientras el fotón estaba en vuelo, el espacio que ocupaba se expandió, alargando su longitud de onda. Betty, a quien no le gusta la expansión, quiere interpretarlo como un corrimiento al rojo cinemático, derivado del movimiento de la galaxia G con respecto a la galaxia de la Vía Láctea, M. Si el desacuerdo de Alice y Betty debe decidirse como una cuestión de verdad absoluta, entonces necesitamos algún método objetivo para resolver un corrimiento al rojo observado en dos términos, uno cinemático y otro gravitacional. Pero esto sólo es posible para un espaciotiempo estacionario, y los espaciostiempos cosmológicos no son estacionarios. Como ejemplo extremo, supongamos que Betty, en la galaxia M, recibe un fotón sin darse cuenta de que vive en un universo cerrado, y que el fotón ha hecho un circuito del cosmos, habiendo sido emitido desde su propia galaxia en el pasado lejano. Si insiste en interpretar esto como un desplazamiento cinemático al rojo, debe concluir que su galaxia M se mueve a una velocidad extremadamente alta con respecto a sí misma. De hecho, esta no es una interpretación imposible, si decimos que la alta velocidad de M es relativa a sí misma en el pasado. Un observador que establezca un marco de referencia con su origen fijo en la galaxia G confirmará felizmente que M ha estado acelerando a lo largo de los eones. Lo que esto demuestra es que podemos dividir un corrimiento al rojo cosmológico en partes cinemáticas y gravitacionales de la manera que queramos, dependiendo de nuestra elección del sistema de coordenadas.
Para aquellos con una formación más técnica en matemáticas abstractas, la siguiente descripción puede ser útil. (La respuesta de knzhou hace un buen trabajo explicando esto en términos no técnicos). El espacio-tiempo en la RG se describe como un espacio semi-riemanniano. Un vector de velocidad es un vector en el espacio tangente en un punto particular. Los vectores de velocidad en diferentes puntos pertenecen a diferentes espacios tangentes, por lo que no son directamente comparables. Para compararlos, es necesario transportarlos en paralelo al mismo punto. Si el espaciotiempo es (aproximadamente) plano, entonces se puede hacer esto, y se puede decir, por ejemplo, que el vector velocidad del sol menos el vector velocidad de Vega es un valor determinado. Pero si el espaciotiempo no es ni siquiera aproximadamente plano (por ejemplo, a escalas cosmológicas), entonces el transporte paralelo depende de la trayectoria, por lo que la comparación se vuelve completamente ambigua.
Relacionado: ¿Por qué es tan grande el universo observable?
Referencias
Davis y Lineweaver, Publicaciones de la Sociedad Astronómica de Australia, 21 (2004) 97, msowww.anu.edu.au/~charley/papers/DavisLineweaver04.pdf
Ya hay una buena respuesta, sólo lo diré de una manera ligeramente diferente.
Piensa en dos personas que corren a la misma velocidad por una carretera. Calcular su velocidad relativa es fácil, simplemente hacemos una resta vectorial. Si corren en la misma dirección, la velocidad relativa es cero; si corren en direcciones opuestas, la velocidad relativa puede ser, por ejemplo, de veinte millas por hora.
En cambio, si los dos corredores corren en continentes distintos, es mucho más difícil definir una velocidad relativa. Se podría calcular su velocidad relativa en el espacio tridimensional, pero no queremos salir de la superficie de la Tierra, porque en la relatividad general no se puede salir del espaciotiempo; no hay un espacio de dimensiones superiores en el que esté inmerso.
Siguiendo con la superficie, podríamos decir que van "en la misma dirección" si ambos corren hacia el Norte, y que esto significa que tienen velocidad relativa cero. Pero esto no es consistente: si finalmente corren hacia el polo norte y se encuentran, diremos que van en la misma dirección cuando claramente no lo hacen. De hecho, no hay ninguna regla autoconsistente, porque la superficie de la Tierra es curva; este problema es esencialmente lo que la curvatura es matemáticamente.
En el espaciotiempo plano, es decir, en el marco de la relatividad especial, la curvatura desaparece y se puede definir una noción coherente de "mismo camino" por transporte paralelo . Por ejemplo, si giro rápidamente, en mi marco el Sol se mueve ingenuamente más rápido que la velocidad de la luz. Pero si transportas en paralelo la velocidad del Sol a tu posición, para calcular una velocidad relativa, encontrarás que es exactamente la que sería si no estuvieras girando, como era de esperar. Así es como la relatividad especial trata las velocidades relativas en su configuración más general. En el caso de que la curvatura no sea despreciable, no hay una noción útil de "mismo camino" y, por tanto, no hay velocidad relativa en absoluto, como explica Ben Crowell. Esto no es un problema, ya que sólo debemos tratar de definir las cosas que podemos medir localmente.
Veo lo que dices con la independencia de la trayectoria del transporte paralelo y cómo depende de la curvatura evanescente, pero las conexiones no son la única forma de producir isomorfismos entre espacios tangentes. Una cosa que me pregunto es sobre los espacios con haz tangente trivial (grupos de Lie, por ejemplo). Ahí tenemos una forma canónica de identificar los espacios tangentes; ¿dirías que ahí podemos comparar velocidades? ¿O es el transporte paralelo de vectores la única forma (físicamente) aceptable de hacerlo?
@Danu : ¿Esta identificación canónica no se basa en el eslabón 1 (es decir, una copia local) del grafo de Cayley del grupo, es decir, en un sistema de coordenadas global? La covarianza general requiere mucho más agnosticismo (o ignorancia) sobre el marco de los generadores infinitesimales en varios puntos del grupo.
@EricTowers No estoy seguro de lo que estás hablando; todo lo que hay que hacer es elegir una base del espacio tangente en un solo punto (por ejemplo, la identidad) y empujarla usando las diferenciales de las traslaciones a la izquierda.
Ben Crowell ya ha respondido exhaustivamente a esta pregunta. Un aspecto parece importante. El núcleo de la cuestión de si el espacio se expande o las galaxias lejanas se alejan reside en la comprensión de que estos puntos de vista dependen de las coordenadas elegidas. Así que ninguna de estas visiones -al no ser invariante- puede considerarse como un fenómeno físico. Véase el artículo de Ned Wright Preguntas frecuentes sobre cosmología http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmology_faq.html
Aquí hay algunos artículos de cosmólogos que tratan este tema:
Una diatriba sobre la ampliación del espacio https://arxiv.org/pdf/0809.4573.pdf
El origen cinemático del corrimiento al rojo cosmológico https://arxiv.org/abs/0808.1081
La expansión del espacio: ¿la raíz de todos los males? https://arxiv.org/abs/0707.0380
La componente cinemática del corrimiento al rojo cosmológico https://arxiv.org/abs/0911.3536
Desplazamiento cosmológico interpretado como desplazamiento gravitacional http://www.ptep-online.com/2007/PP-09-06.PDF
Hay más. Al final parece una cuestión de gustos lo que prefieras.
Esto no parece ser una respuesta, sino un comentario extendido sobre un punto hecho en un post. También es en su mayoría sólo enlaces a otros lugares, en lugar de una explicación.
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Ver physics.stackexchange.com/q/211797 physics.stackexchange.com/q/320863
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¿No deberías ser más preciso con el uso de "velocidad" frente a "rapidez" aquí? Sé que a menudo se usan indistintamente en conversaciones informales, pero no creo que sea apropiado aquí.