Si $31|6x+11y$ $31|x+7y$

Question

Si $31|6x+11y$$31|x+7y$. La única manera que se me ocurre para solucionar este problema es el uso de álgebra lineal y demostrar que estos dos son dependía.

$\det \begin{pmatrix}6&1\\ 11&7\end{pmatrix}=31 \equiv 0_{31}$

¿Cuáles son otras maneras de hacer frente a esto?

Answer 1

$\begin{align} & 31 \mid 6x+11y \\ \implies & 31 \mid 6x+42y \\ \implies & 31 \mid 6(x+7y) \\ \implies & 31 \mid x+7y \\ \end{align}$

Answer 2

Desde $6$ $31$ son coprime y $11 \equiv 6 \cdot 7 \mod 31$, $6 x + 11 \equiv 6 (x + 7) \equiv 0 \mod 31$ si y sólo si $x + 7 \equiv 0 \mod 31$.

Answer 3

La idea es eliminar una de las variables de $$6x+11y-6(x+7y)=31y$$

$$\implies6x+11y\equiv6(x+7y)\pmod{31}$$

$$\implies31|(6x+11y)\iff31|6(x+7y)$$ But $(6,31)=1\implies31|6(x+7y)\iff31|(x+7y)$

O $$7(6x+11y)-11(x+7y)=31x$$

$$\implies7(6x+11y)\equiv11(x+7y)\pmod{31}$$

$$\implies31|7(6x+11y)\iff31|11(x+7y)$$ But $(31,11)=(31,7)=1$

Answer 4

Sugerencia

$31 \mid 31(x+2y) -5(6x+11y)$