Plaza de la unión de dos distintos conjuntos conectados contiene las esquinas opuestas

Question

Pregunta: Dada la unidad de la plaza de $[0,1] \times [0,1]$

Escribir es como la unión de dos distintos conjuntos conectados $A, B$, $A$ debe contienen $(0,0),(1,1)$, $B$ debe contener $(0,1), (1,0)$

No estoy seguro si esto se puede hacer.

Me fui para la solución obvia:

Vamos $A = \{(x,x) | x \in [0,1]\}$, $B = ([0,1] \times [0,1]) \backslash A$. A continuación, $A,B$ contiene los puntos deseados. $A$ está conectado porque es homeomórficos a $[0,1]$, conectado a un espacio. ¿Qué acerca de la conexión de la $B$? Bueno, es obvio que no está conectado.

¿Qué otra posibilidad podría haber?

Answer 1

Deje $f(x)=\sin(1/x)$ $x\in\mathbb R \setminus \{0\}$ y establezca $f(0)=0$. Deje $G$ ser la gráfica de $f$. Es bastante fácil ver que $G$ está conectado. Se puede demostrar que $\mathbb R ^2\setminus G$ también está conectado? De hecho, esto se sigue de un resultado general en este disseration, en el que se lee:

Teorema 9. Si $X$ es un espacio topológico, $f : X \to \mathbb R$, $\text{Gr}(f)$ está conectado, y $(X \times \mathbb R) \setminus \text{Gr}(f)$ se desconecta, a continuación, $f$ es continua.

Como $G$ está conectado y $f$ no es continua, debemos tener la $\mathbb R ^2\setminus G$ está conectado.

Para el conjunto $A$, tomar un rayo $[0,\infty)$ a partir de a $(0,0)$ y en zig zag en un $\sin(1/x)$ moda más y más a $(1/2,1/2)$. Ahora hacer la misma cosa a partir de $(1,1)$. Deje $A$ ser estas dos curvas, junto con el punto de $(1/2,1/2)$. Deje $B=[0,1]^2\setminus A$.

$A$ es la parte en azul, y $B$ es todo lo demás.

Para un poco más simple ejemplo, usted puede reemplazar la parte inferior izquierda de $A$ con la parte de la diagonal de a$(0,0)$$(1/2,1/2)$.