Derivación y significado de una secuencia exacta larga de un Grupo de Homotopía para pares de espacios

Question

He leído que existen largas secuencias exactas de grupos de homotopía para cada par de espacios puntuales $(X,A,x_{0})$ . Ahora sé que para una secuencia exacta que, como denota el ejemplo siguiente $f \text{ and } g$ como mapas que $im(f) = ker(g)$ :

$$\pi_{n}(A,x_{0})\overset{f}\rightarrow \pi_{n}(X,x_{0})\overset{g}\rightarrow \pi_{n}(X,A)$$

ahora sé que $im(f)$ es todo $f$ como $A \subseteq X$ y sólo estamos tomando el punto base $x_{0}$ a sí mismo. Por lo tanto, tendríamos que tener que $ker(g) = \pi_{n}(A,x_{0})$ . No estoy seguro de lo que está pasando, o cómo visualizar esta parte siguiente, pero para es $\pi_{n}(X,A)$ el espacio X con A como punto base? ¿Que de alguna manera A está colapsado? Sé que a partir del teorema fundamental del isomorfismo aplicado a las secuencias exactas que $A\overset{f}\rightarrow X \overset{g}\rightarrow X/A$ pero no estoy seguro de cómo demostrar que esto se cumple con la secuencia exacta de grupos de homotopía (aunque sean grupos). Entonces, ¿cómo podría demostrar explícitamente que esto es exacto? Pero, de nuevo, ¿cuál es la interpretación de $\pi_{n}(X,A)$ ?

Así que eso es lo primero que intento entender. A continuación, puedo crear de alguna manera una larga secuencia exacta de esto. Sé cómo se supone que debe ser, es decir:

$$\pi_{n}(A,x_{0})\overset{f}\rightarrow \pi_{n}(X,x_{0})\overset{g}\rightarrow \pi_{n}(X,A) \overset{h_{*}} \rightarrow \pi_{n-1}(A,x_{0})\overset{f}\rightarrow \pi_{n-1}(X,x_{0})\overset{g}\rightarrow \pi_{n-1}(X,A) .... \pi_{0}(A,x_{0})\overset{f}\rightarrow \pi_{0}(X,x_{0})\overset{g}\rightarrow \pi_{0}(X,A)$$

Sin embargo, no comprendo su significado, sobre todo porque pasa de grupos de dimensiones diferentes, como un espacio de bucles en n dimensiones, a uno de n-1 dimensiones, etc.

Se agradece mucho su visión.

Gracias,

Brian

Answer 1

Para responder a su último comentario: "Sin embargo, no comprendo su significado, sobre todo porque se trata de pasar de grupos de dimensiones diferentes, como un espacio de bucles en n dimensiones, a uno de n-1 dimensiones, etc.", tal vez sería útil considerar un ejemplo. Consideremos un disco $D$ con límite $\partial D = S^1$ . Hay una clase no nula en $\pi_2(D,S^1)$ (omito el punto base para simplificar la notación), representado por el mapa de identidad del disco. El límite de éste es la clase en $\pi_1(S^1)$ representada por la cartografía de identidad del círculo límite. Así que la idea de pasar a una dimensión diferente (inferior) es en realidad bastante natural.

Answer 2

Es necesario corregir su pregunta: $f(\pi_n(A,x_0))$ no es lo mismo que $\pi_n(A,x_0)$ porque para este último, las homotopías de los mapas se toman en $A$ mientras que en el primero se toman en $X$ .

Creo que para entender este tipo de secuencia exacta ayuda estudiar un ejemplo más sencillo y algebraico, a saber, el de la secuencia exacta de una fibración de groupoides, que modela el extremo inferior de la secuencia exacta que usted da, y arroja información más precisa en él. Esta noción de fibración se desarrolla en la sección 7.2 de Topología y Groupoides . Un morfismo $p: E \to B$ de los groupoides es un fibración si para cada $x \in Ob(E)$ y cada $b$ en $B$ a partir de $y= p(x)$ hay un $ e \in E$ a partir de $x$ tal que $p(e)=b$ . (La definición original con aplicaciones está en el artículo de R. Brown, J. Algebra 15 (1970) 103-132). La secuencia exacta está en 7.2.9, y es de la forma

$$ F_x(x) \to E(x) \to B(y) \to \pi_0 F_x \to \pi_0 E \to \pi_0 B, $$

donde $F_x= p^{-1}(y)$ es la fibra de $p$ en $y$ . En esta situación $F_x(x) \to E(x)$ es inyectiva, por lo que no modela del todo la situación general.

Esta noción se reduce a un morfismo de cobertura de los groupoides si en la definición anterior de fibrado el levantamiento $e$ es único, lo que equivale a cada $F_x(x)$ es el grupo trivial.