Donde hace un CM de curva elíptica tiene mala reducción?

Question

Deje $d>1$ ser cuadrado-libre, y $K=\mathbf Q(\sqrt{-d})$. Elija una incrustación de $K$$\mathbf C$, y deje $E = \mathbf C/\mathcal O_K$. Se sabe que $E$ admite un modelo de más de Hilbert campo de la clase de $H$$K$. Vamos a ser un modelo. Deje $I \subseteq \mathcal O_{H}$ ser el malo de la reducción de locus de $E$ (es decir, el producto de los números primos de $H$ donde $E$ tiene mal de reducción). Deje $(n) = N_{H/\mathbf Q}(I)$. (Nota: estoy tan feliz si usted toma $(n) = I \cap \mathbf Q$ lugar.)

Lo que se sabe acerca de $n$, como una función de la $d$?

Se puede decir cuáles son sus factores primos, o al menos a reducir las posibilidades? O, si eso es demasiado optimista:

Se puede renunciar a un límite superior en $n$ en términos de $d$? (Tal vez por inteligentemente la estimación del crecimiento de $j(\tau)$ a lo largo de la vertical de la mitad de las líneas?) Se puede renunciar a un límite superior en el mayor factor principal de $n$?

La siguiente pregunta es la que más me interesa: para un determinado prime $p$, es cierto que $p$ divide casi todos los números de $n(d)$? En otras palabras, no hacen casi todos los CM curvas tienen mala reducción en algunos de los mejores por encima de $p$? (Uno podría esperar pequeño de los números primos para dividir los números de $n(d)$ muy a menudo, y dado que cada prime es pequeño...)

He buscado en la literatura para algo que podría ayudar, pero no encontré nada muy explícito. Gracias de antemano por cualquier cosa que pudiera ayudar.

Answer 1

Su pregunta no está bien definida. Por ejemplo, supongamos $d=3$, vamos a $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, y deje $\mathcal{O}_K$ ser el anillo de enteros de $K$. Deje $E=\mathbb{C}/\mathcal{O}_K$. A continuación, $j(E)=0$, y por el contrario, cada curva elíptica $E'$ ( $\mathbb{C}$ ) $j$- invariante igual a $0$ es isomorfo ( $\mathbb{C}$ )$E$, e $E'$ tiene complejo de la multiplicación por $\mathcal{O}_K$. Así que vamos a $d$ ser cuadrado-libre, y dejar que tome $E'=E'_d$ a ser dada por $$E'_d: y^2=x^3+d.$$ A continuación,$E'_d$$j(E'_d)=0$, y por lo tanto tiene CM por $\mathcal{O}_K$. Para la curva de $E'$ el mal de los números primos son, posiblemente,$2$$3$, pero definitivamente cada divisor primo $p>3$$d$. En particular, para cualquier prime $p$ usted puede encontrar una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ con complejo de la multiplicación por $\mathcal{O}_K$, con una reducción en $p$. (Observe que $H=K$ en este caso, y $E'_p/K$ también tiene mala la reducción de los números primos por encima de $p$$p>3$.)

Por lo tanto, en general, puede que desee especificar una cierta curva elíptica con CM por $\mathcal{O}_K$, definido $H=K(j(E))$, la de Hilbert campo de la clase de $K$, y la "mínima discriminante", o tal vez una intersección de todos los loci de mala reducción... pero esto no lo puede hacer cualquiera. Porque si usted tiene una curva elíptica $E$ definido a lo largo del $H$ con CM por $\mathcal{O}_K$, e $\wp$ es cualquier flor de la $H$, entonces siempre hay una elíptica $E'$ también se define sobre $H$, y isomorfo a $E$ $\overline{H}$ tal que $E'$ tiene buena reducción en $\wp$ (este es el Corolario 5.22 en Rubin,"Curvas Elípticas con Complejo de la Multiplicación y la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer").

En el ejemplo de arriba, y de vuelta a $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, puede creer que $y^2+y=x^3$, lo que ha CM por $\mathcal{O}_K$ y discriminante $-27$ le da el "mínimo discriminante" que quiere, y que el "mínimo locus de mala reducción" es $3$, pero que sería un error, porque entre todas las curvas elípticas con CM por $\mathcal{O}_K$ y definido a lo largo del $H=K(j(E))=K$ hay $$E':y^2 + 2y = x^3 + (\sqrt{-3} + 3)x^2 + (2\sqrt{-3} + 2)x + (\sqrt{-3} - 1)$$ que tiene discriminante $2^4$ y por lo tanto tiene buena reducción en $3$!