Pregunta sobre el UFD

Question

Quiero saber algunos ejemplos con las siguientes propiedades.

Deje que $R$ ser un dominio tal que cada elemento no unitario $x$ es un producto de elementos irreductibles finitos, pero $R$ no es un UFD, y hay algún elemento $y \in R$ de tal manera que $y$ tiene dos factorizaciones distintas con diferentes longitudes.

Los libros de texto me lo dicen, $ \mathbb {Z}[ \sqrt {-5}]$ es un no-UFD ya que $6=2 \cdot3 =(1+ \sqrt {-5})(1- \sqrt {-5})$ . Desde $ \mathbb {Z}[ \sqrt {-5}]$ es noeteriano, entonces es fácil mostrar que cada elemento no unitario es un producto de elementos finitos irreductibles.

Pero no sé si cada dos factorizaciones de un elemento dado de $ \mathbb {Z}[ \sqrt {-5}]$ tienen la misma longitud? Eso es para preguntar si esto es un ejemplo? Más, ¿qué hay de los dominios algebraicos generales de números enteros?

¿Cuál es el famoso ejemplo (fácil de entender) de que un atómico no es un HFD (dos factorizaciones de cualquier x tienen la misma longitud)?

Gracias.

Answer 1

Toma $R$ para ser el anillo de polinomios en el que el $x$ no aparece el término, es decir, polinomios de la forma $$a_0+a_2x^2+...$$ Entonces por inducción en el grado que tenemos que $R$ es un dominio atómico, ya que cada elemento es primo o producto de dos polinomios de menor grado. Y si tomamos el polinomio $$x^6$$ tenemos que $$x^2 \cdot x^2 \cdot x^2$$ y $$x^3 \cdot x^3$$ tienen una longitud diferente a la deseada. (Se puede probar fácilmente que $x^2$ y $x^3$ son de primera calidad en $R$ .)

Answer 2

Por un resultado clásico de Carlitz, un anillo numérico es un dominio medio factorial si tiene un número de clase $1$ o $2$ . En particular, esto es cierto para $\: \mathbb Z[ \sqrt {-5}]\:.\:$ Para una prueba vea a Coykendall, Dominios medio-factoriales, una encuesta.

Para un ejemplo muy simple de un no-HFD considere $ \rm\ : x\: =\: 2^n\: (x/2^n) \in \mathbb Z + x\ \mathbb Q[x]\:.\:$ En general, es fácil demostrar que si $ \rm\ :R\:$ es una subdivisión de un campo $ \rm\ :K\:$ entonces $ \rm\ :R + x\ K[x]\:$ es un HFD $ \rm\iff\ :R\:$ es un campo.

Tenga en cuenta también que si un dominio no es un UFD entonces tiene un de igual longitud factorización no única, ver Coykendall y Smith, Dominios de factorización únicos.

Answer 3

El anillo de números enteros de cualquier campo numérico tendrá la propiedad de que los elementos se factoricen como un producto finito de irreducibles. Para ver esto, dejemos $R$ ser un anillo de números enteros y $x$ un elemento no cero, no invertible de $R.$ Entonces, como $R$ es noetheriana, podemos elegir una máxima ideal entre los principales ideales que contienen $x.$ Cualquier generador de este ideal es irreducible. Dejemos que $u_0$ ser un generador de este tipo. De ello se deduce que el ideal $(x)$ factores $(u_0)I$ para algún ideal distinto de cero $I.$ Considerando la imagen de estos ideales en el grupo de clase de $R,$ obtenemos $I$ es el principal generado por algún elemento $x_1.$ Pero la factorización principal del ideal $(x_1)$ es finito y más corto que la factorización principal del ideal $(x).$ Así, mediante un argumento inductivo, obtenemos que cada elemento de $R$ como el producto de los irreductibles.

Dos factorizaciones de cualquier elemento tendrán la misma longitud si y sólo si $R$ tiene la clase número 1 o 2. Esto responde a tu pregunta sobre $ \mathbb {Z}[ \sqrt {-5}].$