punto fijo de una función holomorfa en un disco

Question

Dejemos que $ \mathbb{D} = \{ z : |z|<1 \} $ y $ f $ una función holomorfa sobre $ \mathbb{D} $ y continua en $ \overline{\mathbb{D}} $ tal que $ f(\overline{\mathbb{D}}) \subset \mathbb{D} $ .

Demuestra lo siguiente:

1. Existe un único punto $ z^* \in \mathbb{D} $ tal que $ f(z^*)=z^* $ (evidente por el teorema de Rouche).
2. Dejemos que $ f_1=f,...,f_{n+1}=f(f_n) $ demostrar que $ f_n(z) \longrightarrow z^* $ de manera uniforme.

Answer 1

La clave de todo esto es que $f(\bar{D}) \subset D$ :

1. Desde $f(\bar{D})$ es compacto, existe $r_0>0$ tal que $f(\bar{D})\subset D_{r_0}$ . Así que para cualquier $r_0<r<1$ tenemos $|f(z)|=|(f(z)-z)+z|<|-z|$ en $D_r$ así que por el teorema de Rouché $-z$ y $f(z)-z$ tienen los mismos ceros, que es uno. Como esto es válido para cualquier $r>r_0$ el resultado de la unicidad es el siguiente.

2. Desde $|f(z)/z|=|f(z)|$ es continua en $\partial D$ tiene un máximo de $M$ y por hipótesis $M<1$ . Así que, asumiendo por el momento que $f(0)=0$ por el principio de máxima obtenemos $|f(z)|\leq M|z|$ para $z\in D$ . Esto hace que $|f_n(z)|\leq M|f_{n-1}(z)|$ en $D$ y así $|f_n(z)|\leq M^n|z|$ . Tomando supremacía sobre $\bar{D}$ y luego el límite como $n\to \infty$ el resultado es el siguiente.

Supongamos ahora que $f(0)\neq 0$ entonces todo lo que se acaba de decir se aplica a $g=h\circ f\circ h^{-1}$ (con $h$ un automorfismo apropiado del disco), y el resultado se sigue en general.