Conversar de una dimensión lema

Question

Considere el siguiente lema. Se trata de las Pilas del Proyecto.

Lema 9.59.11. Supongamos que $R$ es un Noetherian anillo local y $x\in\mathfrak m$ un elemento de su máximo ideal. Entonces $\dim R\le \dim R/xR+1$. If $x$ y no está incluida en ninguno de los mínimos de los números primos de $R$ , entonces la igualdad se mantiene. (Por ejemplo si $x$ es un nonzerodivisor.)

No a la inversa? Precisamente, si la igualdad se mantiene por encima en la declaración anterior, se $x$ no zerodivisor? Si esto no es cierto, se puede añadir un conjunto de hipótesis razonables y hacer realidad?

(Tengo la fuerte sospecha de que sí, pero me gustaría confirmación.)

Answer 1

Creo que a la inversa no se cumple. Tome $R=k[[x,y]]/(x^2, xy)$ donde $k$ es un campo, y el mod por $y$.

Answer 2

De acuerdo a la respuesta aquí por Steven Sam, en el otro sentido tiene si el ambiente anillo de Cohen-Macaulay. En particular, todos los anillos son de Cohen-Macaulay.