Las poleas planas sobre una base no plana $X \rightarrow Y$

Question

Tengo una pregunta relativamente ingenua. Supongamos que $f: X \rightarrow Y$ es un mapa de esquemas. Luego, obtenemos un mapa de los anillos locales $ \mathcal {O}_{Y,f(x)} \rightarrow \mathcal {O}_{X,x}$ y así para cualquier gavilla $F$ en $X$ podemos decir que $F$ es plana $Y$ si el tallo $F_x$ es plana como una $ \mathcal {O}_{Y,f(x)}$ -módulo. Esta noción es importante, por ejemplo, porque es un requisito previo para aplicar muchos teoremas de la forma "Si $F$ es plana $Y$ y (hipótesis) entonces $f_*F$ es localmente libre en $Y$ ".

Me gustaría un ejemplo de una gavilla $F$ que es plana en $X$ y aún así se encuentra en el suelo. $Y$ cuando $f$ no es plana, si tal ejemplo existe. Si no existe tal ejemplo, ¿por qué no?

Puntos de bonificación si se trata de una situación específica en la que $f$ es apropiado y biracional (por ejemplo. $X$ es una explosión de $Y$ ).

Fíjese que si $G$ es localmente libre en $Y$ entonces $F = f^*G$ será localmente libre en $X$ pero será plana $Y$ aunque sólo sea si $f$ es plana, así que un ejemplo no surgirá de esta manera.

Answer 1

Supongo que tu $F$ es un conjunto de módulos sobre $X$ . Cuando $X$ y $Y$ son ambos integrales y $f$ es dominante, entonces la constante gavilla de funciones racionales en $X$ es plana en $X$ y $Y$ .

Si se quiere un ejemplo con gavillas coherentes, es más difícil por la siguiente propiedad: si $B$ es un $A$ -algebra y $M$ es un fielmente plano $B$ -módulo, entonces $M$ es plana $A$ si y sólo si $B$ es plana $A$ . (La prueba es sencilla). Si $F$ es coherente, no cero, y plano sobre $X$ con $X$ irreducible, entonces el apoyo de $F$ es igual a $X$ por lo tanto, para cualquier subesquema abierto afín $U$ de $X$ , $F(U)$ es fielmente plana $O_X(U)$ . Así que $F$ de plano $Y$ implica que $X \to Y$ es plana.

Un contraejemplo cuando $X$ no es irreducible (y $F \ne 0$ ): dejemos $Y$ ser la unión desarticulada de dos esquemas afines integrales $U, V$ de dimensión positiva, dejemos $X$ ser la unión de $U$ y un punto cerrado de $V$ et let $G$ ser $O_Y$ en $U$ y $0$ en $V$ que $F$ ser el tirón de $G$ a $X$ . Luego $F$ es plana $X, Y$ pero $X \to Y$ no es plana.