Método de Newton: Encontré un caso en el que no funciona. ¿Por qué?

Question

Así que estaba buscando usar el método de Newton para evaluar $x^3-2*x+2 = 0$ . Me di cuenta de que podía introducir un número negativo para $x_0$ y funcionó pero cuando intenté $x_0 = 0$ entonces mi código empezó a volverse loco y no encontró la raíz. ¿Alguien sabe por qué hace esto y cómo puedo solucionarlo? Gracias.

Answer 1

$$ x_{new} = x_{old} -\frac{x_{old}^3 -2x_{old} +2}{3x_{old}^2-2} $$ Primeras iteraciones con $x_0$ $$ x_{1} = 0 -\frac{2}{-2} = 1\\ x_2 = 1 -\frac{1}{1} = 0 = x_0 $$ Así se llega a un ciclo límite (atractor) en el que los valores se repiten.

Answer 2

Chinny84 tiene razón, lamentablemente la órbita producida por el método de Newton con punto de partida $x_0=0$ es periódica en este caso, y no converge a la raíz de su polinomio.

Sólo me gustaría destacar que la convergencia del método Newton es un tema realmente peliagudo, de hecho, se pueden producir fractales basados en la convergencia de este método aplicado a polinomios particulares (bivariados) :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal

Answer 3

En general, no se garantiza que el método de Newton funcione para todos los puntos iniciales. La cuenca de atracción inmediata del cero $p$ es decir, el mayor intervalo abierto que contiene $p$ tal que desde cada punto de partida en este intervalo la iteración converge a $p$ , tendrá una de las siguientes formas:

1. $(-\infty, \infty)$
2. $(-\infty, b)$ donde $f'(b) = 0$
3. $(a,\infty)$ donde $f'(a) = 0$
4. $(a,b)$ donde $a$ y $b$ forman un ciclo doble de repulsión para el método de Newton.

En este caso tenemos el caso (2) con $b = -\sqrt{6}/3 = -.8164965809$ aproximadamente.