En Taxi de la Geometría, ¿cuál es la solución a la d(P, A) = 2 d(P, B) por dos puntos, a y B?

Question

Taxi y la geometría Euclidiana difieren en gran cantidad, debido a la modificación de la métrica de la función:

$$d_T(A,B)=|x_a-x_b|+|y_a-y_b|$$

(Tenga en cuenta que esto significa que cuando la medición de la distancia, no es la longitud de la hipotenusa, pero la suma de las piernas de la misma a la derecha del triángulo.)

Mi Principal Problema

En Euclidiana geometría, la respuesta a la pregunta "Hallar el lugar geométrico de los puntos de $X$: $d(X, A) = 2 * d(X, B)$" rendimientos regulares, Euclidiana círculo. Un poco de álgebra que hace que este muy trivial.

Pero ¿cuál es la respuesta para el mismo problema, pero para $d_T$?

Lo Que Sabemos Hasta El Momento

Este tipo de geometría en realidad tiene una propiedad muy interesante, a saber, que cosas como girar, sus medidas de cambio. Considerar los casos en los que los puntos de compartir uno de sus coordenadas. Muchas veces, las situaciones de rendimiento de las mismas respuestas como lo hacen sus Euclidiana contrapartes.

Algunas cosas son notablemente diferentes, sin embargo. Por ejemplo, un círculo, como lo define como el conjunto de puntos a una distancia fija de un punto, en realidad se presenta como un cuadrado rotado 45 grados. También es trivial para ilustrar que.

Se hizo se me ocurre que la respuesta a este problema podría ser análoga a la geometría Euclidiana, y la solución puede ser simplemente un Taxi círculo (un cuadrado). Pero esto no parece funcionar. Además, me funcionó la solución para los puntos de intercambio de un x o y coordinar, termino con dos imágenes especulares de los segmentos de línea. Pero el caso general, donde los dos puntos de las esquinas de un rectángulo todavía se me escapa. Mi segunda conjetura era que la solución podría ser un Euclidiana círculo, pero esto no funcionó.

Por último, algunas construcciones parecían diferir dependiendo de si los puntos elegí forman la diagonal opuesta esquinas de un general rectángulo o un cuadrado. E. g. (0,0) y (3, 3) parece ser un tipo diferente de excepción.

Alguna idea sobre este problema sería muy apreciada!

Answer 1

EDIT: bueno, lo tengo. Hay un caso especial, al $AB$ tanto en horizontal o vertical de la línea. A continuación, la forma de pedido es un convexo kite forma, dos ortogonal aristas de igual longitud, con laderas $\pm 1,$ los otros dos bordes con pendientes de $3,-3, \frac{1}{3},\frac{-1}{3},$ de la totalidad de la figura simétrica a través de la $AB$ línea, como sería de esperar. De lo contrario, dibujar el rectángulo con $AB$ como los extremos de una diagonal. Si este rectángulo es un cuadrado, o el borde más largo no es más que el doble de la longitud de los otros, la forma es un trapecio isósceles, como se describe a continuación. Si el borde más largo es más de dos veces tan largo como el otro, la forma es un nonconvex hexágono, como en Rahul la imagen. Además, si se corrige el borde más largo y llamar a la longitud de la $1,$ como el menor de borde se va a la longitud de la $0$ la resultante de forma hexagonal viene a parecerse a la de la cometa de forma, que es su límite. De todos modos, hay sólo tres posibilidades. Tenga en cuenta que, en los casos en que $AB$ no están en una línea paralela a la $x$ o $y$ eje, podemos color de las nueve regiones del tic-tac-dedo del pie de la junta como un tablero de ajedrez o de tablero de ajedrez; a continuación, las regiones del mismo color que el rectángulo tiene los segmentos (si existe) de la pendiente $\pm 1,$, mientras que los segmentos de las regiones que son el otro color de la pendiente entre las $3,-3, \frac{1}{3},\frac{-1}{3}.$ todo es bastante rígida.

ORIGINAL: UN poco que añadir a lo que Ross y Rahul señaló. Un segmento es automáticamente allí, el segmento dentro del rectángulo que pasa a través de los 2/3 de punto a lo largo de la $AB$ diagonal, pero con una pendiente $\pm 1,$ y más a $B.$ Este segmento es parte de un "círculo" en torno a $A$ así como un "círculo" en torno a $B.$ Hay otro con la misma pendiente, pasando a través de un punto que bien podría llamar a $A',$ que es el reflejo de $A$ a lo largo de la línea de $AB,$ a la misma distancia de a $B$ $A$ es pero en el otro lado. Este puede ser el borde más largo involucrados, como lo sigue a través de uno de Ross, el tic-tac-dedo del pie de las regiones.

También puede ser común "círculo" segmentos girado $90^\circ$ de aquellos que, como en Rahul del diagrama. Así que uno debe de verificación para los primeros, en las nueve regiones, los segmentos con pendiente $\pm 1$ que son la superposición de un círculo alrededor de $A$ y el círculo alrededor de $B.$ Rahul ha demostrado que se puede obtener de tres segmentos, y no son automáticamente al menos dos, pero no veo cómo se podría llegar a cuatro. Así que creo que el diagrama está preguntando acerca de que es probable que sea un cuadrilátero (un trapecio isósceles) o un no-convexo, hexágono, siendo un trapecio isósceles con un vértice reemplazado por un extra de triángulo, de uno de los bordes de la que es ortogonal a los dos bordes paralelos del trapecio parte. El asunto es que, en realidad, hay sólo dos genuinamente vertientes bien diferenciadas permitido, $\pm 1$ $3,-3, \frac{1}{3},\frac{-1}{3}.$