La distinción entre "ordinarios" y "extraordinarios" rayos surge cuando se tiene un birrefringentes material, en el cual la luz con diferentes polarizaciones tiene diferente velocidad.
De Snell de la Ley, como muchas de las "leyes" de la física, no es un absoluto descripción de todo comportamiento, pero un matemático de acceso directo de una base más fundamental de la descripción que se aplica en muchas circunstancias comunes. Se puede derivar de Snell de la Ley, para que la luz viaja de un medio con permitividad y la permeabilidad $\epsilon,\mu = \epsilon_1,\mu_1$ a un medio con $\epsilon_2,\mu_2$, exigiendo que en las siguientes condiciones de contorno son satisfechos:
\begin{align}
\epsilon_1 \vec E{}_1^\perp &= \epsilon_2 \vec E{}_2^\perp
&
\vec B{}_1^\perp &= \vec B{}_2^\perp
& \text{normal to surface}
\\
\vec E{}_1^\parallel &= \vec E{}_2^\parallel
&
\frac 1{\mu_1} \vec B{}_1^\parallel &= \frac 1{\mu_2} \vec B{}_2^\parallel
& \text{parallel to surface}
\end{align}
Aquí los superíndices $^\perp$ $^\parallel$ indican la orientación con respecto a la superficie, no a cualquier eje de polarización. El exterior de onda tiene la forma
$$
\vec E_1 =
\vec E_A \exp i\left(\vec k_1\cdot \vec x - \omega t \right)
+
\vec E_B \exp i\left(\vec k_1\cdot \vec x - \omega t \right)
$$
donde$\vec E_A$$\vec E_B$, que representa a los dos avión componentes de polarización de la onda incidente, son ortogonales entre sí y a la wavevector $\vec k_1$. El campo magnético de $\vec B_1$ es ortogonal a $\vec E_1$$\vec k_1$.
Los detalles de la derivación se puede encontrar en muchos de E&M y la óptica de los libros de texto.
En un material birrefringente tiene la complicación de que la permitividad, $\epsilon$, puede ser dado por un tensor en lugar de un escalar. Ahora la orientación de la superficie no es la única propiedad de los materiales para definir una dirección, y la dirección de E&M de los límites de valor de problema debe ser resuelto de nuevo; esta vez no conduce a la Ley de Snell, especialmente si la orientación relativa de la óptica del eje (o ejes) del material y su superficie es de un wonky ángulo.
