El cálculo de una superficie utilizando coordenadas cilíndricas

Question

$z = f(r,\theta)$ donde $(r,\theta)$ varía a través de una región $D$ $r\theta$- plano, $r$ no negativo.

Necesito mostrar que el área de la superficie de la superficie está dada por $$\underset{D}{\iint} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)^2}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta.$$

Puedo resolver este problema, excepto por la parte incluida $(1 / r^2 )$. No tengo idea de donde ese componente. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

No estoy seguro de cómo usted tiene sólo la parte de la fórmula... quizás cometió un error de cálculo? ¿Te acuerdas de que $x^2 + y^2 = r^2$ e no $x^2 + y^2 = r$?

En cualquier caso, supongo que estás empezando con la fórmula $$S = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy$$ y partir desde ahí.

Naturalmente, usted tendrá que utilizar la regla de la cadena para derivadas parciales $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y},$$ mientras que en el proceso de deshacerse de cualquiera $x$ - $y$- términos a través de las fórmulas $$x = r\cos \theta$$ $$y = r\sin \theta.$$ Por último, el cambio de las variables de la fórmula le permite escribir (formalmente) $$dx\,dy = r\,dr\,d\theta,$$ por lo que se deben tener en cuenta el final de la $r$plazo fuera de la raíz cuadrada.

Te dejo los detalles del cálculo.

Answer 2

De hecho, usted puede ver inmediatamente utilizando el análisis dimensional de que su expresión $$\iint\limits_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)^2}r\,dr\,d\theta$$ tiene que estar mal. Recuerde que la superficie de la unidad de [longitud]$^2$, $r$ y $f$ son de la unidad [longitud], y $\theta$ es adimensional.

Este es un físico manera de decir que si la escala de sus coordenadas Cartesianas a través de $x'=\lambda x$, $y'=\lambda y$, $z'=\lambda z$ la superficie debe escala, como los de $\lambda^2$.