El positivo de la definición de la especial de la matriz creadas por el cambio de los vectores $[1\, \cdots \, n\, \cdots\,1]$

Question

Me pregunto si hay una buena manera de probar si las matrices con la siguiente estructura positiva definida: $$\begin{equation} \left[ \begin{array}{ccccccc} 10 &9 &8 &\cdots &3 &2 &1\\ 9 &10 &9 &\cdots &4 &3 &2\\ 8 &9 &10 &\cdots &5 &4 &3\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 3 &4 &5 &\cdots &10 &9 &8\\ 2 &3 &4 &\cdots &9 &10 &9\\ 1 &2 &3 &\cdots &8 &9 &10 \end{array} \right] \end{equation}$$ Básicamente, cada fila se creadas por el cambio de los vectores $[1\, \cdots \, n\, \cdots\,1]$. Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!

Answer 1

Sólo voy a hacer la $n=10$ ejemplo.

Considere los vectores $v_1=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$, $v_2=(0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0)$, $v_3=(0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0)$ hasta $v_{10}=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$. Estos son linealmente independiente, y su matriz de Gram es su matriz, que es por lo tanto positiva definida.

En más detalle, vamos a $x=(x_1,\ldots,x_{10})$ ser distinto de cero vector fila, a continuación, $w=x_1v_1+\cdots+x_{10}v_{10}$ es distinto de cero, por lo $|w|^2>0$. Pero $|w|^2=xAx^t$ donde $A$ es su matriz. Por lo que su matriz es positiva definida.