Una pregunta en relación con el axioma de elección y de Cauchy funcional de la ecuación

Question

El Cauchy funcional de la ecuación: $$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ tiene soluciones llamadas "aditivo funciones". Si no se imponen condiciones a $f$, hay infinitamente muchas de las funciones que satisfacen la ecuación, llamada 'Hamel' funciones. Esto es válido si y sólo si el Zermelo del axioma de elección es aceptado como válido.

Mi pregunta es: supongamos que no consideramos válido el axioma de elección, esto significa que tenemos un número finito de soluciones? O tal vez el 'Hamel' funciones siguen siendo válidas?

Gracias por todas las sugerencias de mineral de respuesta.

Answer 1

Lo que escribí no es cierto en absoluto. El argumento no es válido "si y sólo si el axioma de elección sostiene".

1. Tenga en cuenta que siempre hay funciones continuas de esta forma, todos se ven como $f(x)=ax$, para algún número real $a$. Hay infinitamente muchos de esos.

2. El axioma de elección implica que hay funciones discontinuas como este, además de un muy, muy débil del axioma de elección implica esto. De hecho, hay muy poco de "elección", que puede ser inferida a partir de la existencia de funciones discontinuas como este, es decir, la existencia de no-medibles conjuntos.

3. Incluso si el axioma de elección es falsa, todavía se puede mantener para los números reales (es decir, el número real puede ser bien ordenado, incluso si el axioma de elección no mal en el universo general). Sin embargo, incluso si el axioma de elección falla en los números reales no implica que no existen tales funciones en el universo.

4. Sabemos que existen modelos en los que todas las funciones que tienen esta propiedad debe ser continua, por ejemplo, los modelos en los que todos los conjuntos de números reales tiene la propiedad de Baire. Hay modelos de ZF en el que todos los conjuntos de reales tiene la propiedad de Baire, pero hay que no se pueden medir conjuntos. Así que ni siquiera podemos inferir la existencia de discontinuos de soluciones de la existencia de la no-medibles conjuntos.

5. Observar que si hay un no-discontinuo, a continuación, hay muchas diferentes, ya que si $f,g$ son dos aditivo funciones, a continuación, $f\circ g$ $g\circ f$ son también aditivo funciones. La pregunta correcta es preguntar si es o no el álgebra de aditivo funciones es finitely generado más de $\mathbb R$, pero a este no sé la respuesta (y no estoy seguro de si es conocido).

Más:

• Hay un no-trivial ejemplo de una $\mathbb Q-$endomorfismo de $\mathbb R$?