Coordinar anillo del círculo unitario es nunca una unidad flash usb?

Question

Estoy leyendo algunas notas acerca de coordinar los anillos. En el tercer ejemplo, en la segunda página, el autor señala que el anillo de coordenadas $K[\mathcal{C}]$ no es un disco flash usb.

Si $f=X^2+Y^2-1$,$K[\mathcal{C}]$, tenemos $$ Y^2+(f)=(1-X)(1+X)+(f) $$ pero los elementos $Y+(f)$, $1+X+(f)$ y $1-X+(f)$ son irreductibles.

Hay una razón por la que es claro que estos tres elementos son irreductibles?

Escrito $Y+(f)=g(X,Y)h(X,Y)+(f)$ y tratando de verificar uno de $g+(f)$ o $h+(f)$ es una unidad está recibiendo un poco peludo.

Answer 1

Al menos $Y$ no es irreducible si hay algo de $i\in K$ tal que $i^2=-1$. Tenemos $$K[\mathcal C]\cong K[\cos \theta,\sin \theta]\cong K[e^{-ix},e^{-ix}]\cong K[t,t^{-1}]$$ a través de los mapas $$X\mapsto \cos\theta\mapsto \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\mapsto \frac{t+t^{-1}}{2}$$ $$Y\mapsto \sin\theta\mapsto \frac{-ie^{ix}+ie^{-ix}}{2}\mapsto \frac{-it+it^{-1}}{2}$$

Tenga en cuenta que $Y\mapsto \frac12(-it+it^{-1})$ es irreductible iff $2i\cdot \frac12(-it+it^{-1})=t-t^{-1}$ es. Pero $t-t^{-1}=(1+t^{-1})(t-1)$, y ninguno de estos son las unidades desde las unidades de $K[t,t^{-1}]$ son de la forma $at^n$ $a$ cero y $n\in\mathbb Z$. En $K[\mathcal C]$ esta factorización se ve así:

$$(X-iY+1)(X+iY-1)=2iY+(X^2+Y^2-1)$$

Answer 2

La observación de que (bajo el supuesto de que la característica de $K$ no es $2$), $\mathcal C$ es una curva suave, y por lo tanto $K[\mathcal C]$ es un dominio de Dedekind. De hecho, $\mathcal C$ es isomorfo, por la proyección estereográfica ( $X=\frac{1-T^2}{1+T^2}, Y=\frac{2T}{1+T^2}$ $\mathbf P^1-\{\pm i\}$ , que es un abierto subscheme de $\mathbf P^1$ y por lo tanto suave.

En una curva suave, una sección de la estructura de la gavilla se determina, a la multiplicación por una unidad, por su divisor. De ello se deduce inmediatamente que $1-X$ $1+X$ son irreductibles, ya que sus divisores constan de un solo punto.

Por otro lado, me afirmación de que $Y$ es irreducible si y sólo si $i \notin K$. El divisor de $Y$$[A]+[B]$, donde $A=(1,0)$, $B=(-1,0)$. La única manera de escribir este divisor como una suma de dos positivos no trivial de divisores es $[A]+[B]$.

Por lo tanto, con el fin de ver si $Y$ es irreductible, se debe buscar un $W\in K[\mathcal C]$ con divisor, precisamente, $[A]$ (es decir, una función que simplemente se desvanece en $A$ y en ningún otro lugar de $\mathcal C$). Visualización de $W$ como una función racional en $\mathbf P^1 = \overline{\mathcal C}$, se deduce a partir de los residuos teorema que si $a_i, a_{-i}$ el valor de las órdenes de $W$$i$$-i$, entonces debe ser el caso de que $$a_i+ a_{-i}+1=0.$$ Si $i\in K$, no hay ningún obstáculo para encontrar una $W$ que hace todo el trabajo, ya que cada grado $0$ divisor a $\mathbf P^1$ es la directora. Por escribir los detalles de uno se recupera de Alex de la factorización de $Y$.

Por otro lado, si $i\notin K$ $W$ es una función racional de la forma $g(T)/(1+T^2)^n$, lo $a_i=a_{-i}$ y, por tanto, $a_i+ a_{-i}$ es incluso. Es entonces imposible tener $a_i+ a_{-i}+1=0$.

De hecho, un poco más de trabajo muestra que $K[\mathcal C]$ es un PID si y sólo si $i \in K$.