Prueba de logaritmo de la desigualdad sin continuidad

Question

Mostrando que el logaritmo de la función es continua en su dominio se reducía a probar

$$\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)\le x \ \ \text{for all}\ x >-1.$$

Hay muy pocas pruebas ya están en línea. Debido a un contexto, sin embargo, tengo que justificar este resultado

• sin el uso de la continuidad del logaritmo o funciones exponenciales;
• recurrir a ninguno de alimentación de la serie ni de integración.

Hay una manera?

Answer 1

En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que el logaritmo de la función satisface las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1$$

para $x>0$. Luego, dejando $x\to x+1$ llegamos a la codiciada desigualdades

$$\frac{x}{x+1}\le \log(1+x)\le x$$

Y hemos terminado!

Tenga en cuenta que también podemos llegar a las desigualdades mediante la integral de la definición de logaritmo. De continuar, tenemos

$$\log(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt$$

Entonces, es fácil ver que para $0<x$,

$$\frac{x-1}{x}=\int_1^x \frac1x\,dt\le \log(x)\le \int_1^x \frac{1}{1}\,dt=x-1$$

Y la continuidad de la siguiente manera a partir de la representación integral también desde

$$\begin{align} |\log(x_2)-\log(x_1)|&\le \int_{x_1}^{x_2}\frac1{t}\,dt\\\\ &<\frac{x_2-x_1}{x_1}\\\\ &\to 0\,\,\text{as}\,\,x_1\to x_2 \end{align}$$