Clases conjugadas para matrices 2x2

Question

He leído una afirmación no probada de que cada matriz real de 2 por 2 es similar a una matriz en exactamente una de las siguientes categorías:

$ \alpha \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix}$

$ \alpha \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} + \beta \begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {bmatrix}$

$ \alpha \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} + \beta \begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end {bmatrix}$

$ \alpha \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} + \beta \begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {bmatrix}$

donde $ \alpha , \beta \in \mathbb {R}$ y $ \beta \neq 0$ .

¿Cuál es el procedimiento general para encontrar la clase y los valores apropiados de $ \alpha $ y $ \beta $ para una arbitraria matriz real de 2 por 2?

Supongo que se empieza computando la forma normal de la matriz de Jordan, que parece

$P \begin {bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end {bmatrix}P^{-1} \quad \quad $ o $ \quad \quad P \begin {bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end {bmatrix}P^{-1}$ .

En el último caso, está bastante claro cómo expresar (un conjugado de) la matriz en la 4ª forma anterior. En el primer caso (el caso diagonal) cuando $ \lambda_1 == \lambda_2 $ es incluso más fácil expresar la matriz en la primera forma de arriba. La parte difícil (la parte en la que necesito ayuda) es cómo expresar una matriz diagonalizable con valores propios distintos en la 2ª o 3ª forma de arriba.

Además, me gustaría una explicación de cómo se podría generalizar este resultado a matrices más grandes.

Gracias

Answer 1

El tipo de similitud de una $2 \times2 $ matriz con distintos valores propios está determinada precisamente por esos valores propios. Además, si la matriz es real, sus valores propios serán ambos reales o serán un par conjugado de números complejos.

Tengan en cuenta que $ \begin {bmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha\end {bmatrix}$ tiene $ \alpha + \beta $ y $ \alpha - \beta $ como eigenvalores, con eigenvectores $ \left ( \begin {array}{c}1 \\ 1 \end {array} \right )$ y $ \left ( \begin {array}{c}1 \\ -1 \end {array} \right )$ . Así que si tu matriz original tiene valores propios reales $ \lambda_1 $ y $ \lambda_2 $ es similar a una matriz del segundo tipo, con $ \alpha = \frac { \lambda_1 + \lambda_2 }{2}$ , $ \beta = \frac { \lambda_1 - \lambda_2 }{2}$ .

De la misma manera, $ \begin {bmatrix} \alpha & - \beta \\ \beta & \alpha\end {bmatrix}$ tiene $ \alpha + \beta i$ y $ \alpha - \beta i$ como valores propios, con sus respectivos vectores propios $ \left ( \begin {array}{c}i \\ 1 \end {array} \right )$ y $ \left ( \begin {array}{c}1 \\ i \end {array} \right )$ . Así que si tu matriz original tiene valores propios complejos $ \lambda_ {1,2}= \alpha \pm \beta i$ es similar a una matriz del tercer tipo.

Parece difícil generalizar esto útilmente a matrices más grandes, excepto en la medida en que la forma Jordan en sí misma es una especie de generalización. Para matrices más grandes, los valores propios reales ya no vienen naturalmente en pares, los valores propios complejos ya no necesitan ser simples, y así sucesivamente.