¿Qué es el "más fácil" para demostrar que no existe ninguna continuo de inyección de $f:S^2 \rightarrow \mathbb{R^2}$?
Asegúrese de que el Borsuk-Ulam teorema implica que el resultado, pero esto puede ser una "difícil".
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este no es un resultado evidente. Por la invariancia del dominio, si hubiera una $f$, su imagen iba a ser abierta en $\Bbb R^2$. Pero, por supuesto, también ser compacto. Oops.
Mark Fischler
Puntos
11615
Un amplio golpes a prueba de contorno:
Considere dos puntos de $a,b \in S^2$ y la continuidad de una curva cerrada $C\in S^2$ de manera tal que todos los coninuous transformaciones de asignación de $a\to b$ contienen un valor en $C$. El existtance de un triplete se muestra por ejemplo: Los polos Norte y Sur, y la línea del ecuador, en una esfera.
Ahora considere la posibilidad de cualquier continua inyección de tercia en algunas co-dominio $D \in \Bbb{R}^2$. (Ya que la inyección es también surjective en $D$ es un bijection.) Ya que cada curva continua de la línea de $a$ $b$intersecta $C$, y las continuas inyecciones de preservar la propiedad, exactamente uno de $a',b'$ debe estar en el interior de $C'$. Sin pérdida de generalidad, decir $a'$ no está en el interior de $C'$.
A continuación, $C'$ no se deforma continuamente para estar completamente en un arbitrariamente pequeño $\epsilon$-bola que contiene $a'$ en su interior. Y una continua inyección de preservar la propiedad. Sin embargo, $C$ puede ser continuamente deforma para estar completamente en un arbitrariamente pequeño $\epsilon$-bola que contiene $a$ en su interior. Este contradictoin muestra de que no podríamos haber deseado continua de la inyección.
