¿Cuál es la relación entre la vibración del campo y la fluctuación cuántica?

Question

Consideremos un campo libre como la ecuación de KG.

Veo que por qué $$\tilde \phi(\mathbf{p},t)$$ una cantidad que depende del momento, es un oscilador, que vibra a una frecuencia porque cuando aplicamos la transformada de Fourier a la ecuación de KG tenemos:

$$(\frac{\partial^2}{\partial t^2}+ p^2+m^2)\tilde \phi(\mathbf{p},t)=0$$ que es la ecuación de un oscilador que vibra a la frecuencia $\sqrt{(p^2+m^2)}$ .

Pero, ¿es esta oscilación o vibración la misma noción de fluctuación cuántica, o están relacionadas?

Answer 1

La palabra "fluctuación" aparece en muchos contextos diferentes, la mayoría de las veces sin una definición formal y a veces con un significado muy diferente.

Por ejemplo, en el contexto de la mecánica estadística, Gaviota de S.F. escribe:

Supongamos que utilizamos el algoritmo de Gibbs para establecer un conjunto de equilibrio y calcular la media del conjunto de una cantidad de interés $f$ junto con su varianza $(\Delta f)^{2} \equiv \langle(f - \langle f \rangle)^{2} \rangle$ . Ahora $\Delta f$ ciertamente representa nuestra incertidumbre sobre la cantidad $f$ pero, según la mayoría de las de la mecánica estadística, se supone que también indica el nivel de las fluctuaciones temporales de $f$ . Aquí de nuevo, entonces, es un concepto erróneo - el hecho de que que no estemos seguros del valor de una cantidad no significa por sí mismo que sea fluctuante. Por supuesto, podría fluctuar y, si así fuera, sería una muy buena razón para no estar seguros de su valor. Si así fuera, sería una muy buena razón para no estar seguros de su valor. Sin embargo, sin un análisis más profundo, simplemente no sabemos si realmente fluctúa. Por fin hemos encontrado una cuestión de mecánica estadística en la que consideraciones ergódicas son importantes. Podemos esbozar una respuesta parcial a este problema siguiendo a Jaynes (1979).

Definimos $$ \bar{f} = \frac{1}{T} \int{ f(t)\, dt } $$ como una media temporal a largo plazo y $$ (\delta f)^{2} = \frac{1}{T} \int{ ( f(t) - \bar{f} )^{2} \, dt } $$ como una variante a largo plazo. Tomando los promedios de los conjuntos, encontramos efectivamente que $\langle f\rangle = \langle \bar{f}\rangle$ Sin embargo $$ \langle(\delta f)^{2} \rangle = (\Delta f)^{2} + (\Delta \bar{f})^{2} $$ y este segundo término no es necesariamente cero.

La situación es la siguiente: si se toma una media temporal en un intervalo de tiempo demasiado corto la variación observada en $f$ puede ser, por supuesto, \N menos que el $\Delta f$ del conjunto de equilibrio. Sin embargo, la variación a largo plazo de $f$ puede ser mayor que $\Delta f$ dependiendo de una propiedad particular del p.d.f. del conjunto. Incluso entonces, aunque podamos calcular $\langle \bar{f}\rangle$ y $\langle(\delta f)^{2} \rangle$ como en el caso anterior, todavía no sabemos que estas estimaciones sean fiables; para ello que tenemos que examinar las correlaciones de orden superior del conjunto. Los detalles se encuentran de nuevo en Jaynes (1979).

La moraleja es que el algoritmo de Gibbs da la incertidumbre de nuestras predicciones no la fluctuación temporal observada. Decir que una cantidad termodinámica fluctúa realmente (lo que, por supuesto, puede hacer) requiere un análisis más un análisis adicional no trivial.

Por eso, aunque a menudo se oye hablar de "fluctuaciones térmicas", puede que no quede claro si lo que dicen es realmente significa algo o si sólo es un sinónimo elegante de térmica efectos .

La situación es bastante similar en la mecánica cuántica. Las cantidades tienen incertidumbres intrínsecas debido a un álgebra observable no conmutativa que puede llevar a la misma confusión que la anterior: decir que una cantidad "fluctúa" cuando lo único que se puede decir es que es incierta. Y al igual que en el caso anterior, la expresión "fluctuaciones cuánticas" se utiliza a menudo como sinónimo de "cuántica". efectos .

Ahora, para añadir algo más sustantivo que la pura semántica a esta discusión, considera el efecto Casimir para una partícula sin masa en una dimensión espacial*. Se supone que hay que considerar configuraciones de campo que obedecen a ciertas condiciones de contorno, por ejemplo

$$\phi(0,t) = \phi(L,t)$$

Ya no existe un continuo de modos posibles. La expansión del campo en sus modos de Fourier sería algo así:

$$\phi(x,0) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} {a_k \exp\left(i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right) + a^\dagger_k \exp\left(-i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right)}$$

Nuestro objetivo es calcular el valor de la expectativa del Hamiltoniano en el estado de vacío,

$$\langle 0 | H | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \omega_k \langle 0 | a_k a^\dagger_k | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \frac{2 \pi k }{L} $$

Tal como está, esta suma es obviamente divergente y requiere una regularización. No me molestaré con eso, ya que no es el objetivo de este post. Ver aquí si te interesa; sólo ten en cuenta que ellos usaron condiciones de contorno Dirichlet, y yo usé condiciones de contorno periódicas.

El objetivo de este ejemplo es ilustrar a qué se refiere la gente cuando habla de "fluctuaciones cuánticas" entre las placas. En efecto, están relacionadas con el hamiltoniano del oscilador armónico para cada modo de Fourier, pero las advertencias señaladas en el pregunta relacionada vinculado por ACuriousMind aplicar - hay una interesante discusión en los comentarios a su respuesta que usted debe leer.

También podemos relacionar esto con las "fluctuaciones térmicas" observando que una forma de introducir la temperatura finita en las teorías de campo es tomar una teoría de campo definida en el espacio euclidiano e introducir condiciones de contorno periódicas en la dirección temporal (imaginaria). Esto hace que la analogía entre estas "fluctuaciones cuánticas" y las "fluctuaciones térmicas" sea precisa, por lo que los comentarios de S.F. Gull son directamente aplicables.

*Por favor, no te tomes este ejemplo demasiado en serio. Que no puede haber teorías de campos escalares sin masa en dos dimensiones del espaciotiempo es una hecho bien conocido . El ejemplo en sí está bien porque las condiciones de contorno proporcionan un regulador infrarrojo natural, pero la interpretación en términos de placas paralelas, etc. no lo es.

Answer 2

Seré muy audaz y trataré de ir directo al grano.

No, no son lo mismo en el sentido de que su naturaleza es muy diferente aunque estén relacionadas.

Piensa en un oscilador armónico habitual, ya sea mecánico cuántico o clásico, el sistema oscilará con alguna frecuencia que es independiente de la naturaleza cuántica (o clásica) del sistema.

Ahora bien, como un oscilador armónico es efectivamente un sistema confinado, hay una especie de "escala de longitud" de confinamiento típica que afectará al comportamiento cuántico. En particular, impone un límite aproximado a la incertidumbre en la posición (o en el campo de desplazamiento o lo que sea) que, a su vez, hace que la incertidumbre en el momento de este campo también sea distinta de cero (en virtud de las relaciones de conmutación que satisfacen).

El hecho de que este confinamiento genere un momento no nulo se denomina fluctuación de punto cero y da lugar a un estado básico de energía no nula (que es para siempre oscilante).

Obsérvese que cuanto más fuerte sea la "constante del muelle", más puede fluctuar a través de este mecanismo de incertidumbre.

Answer 3

Advertencia: Voy a intentar responder a esto, pero voy a jugar muy rápido y suelto con las definiciones y la edición, porque tengo que ir a trabajar. Así que, tranquilos con los comentarios quisquillosos, haters. De todos modos...

Pero, ¿es esta oscilación o vibración la misma noción de cuántica fluctuación cuántica, o están relacionadas?

Lo primero que hay que tener en cuenta es que no queda claro en el post si realmente has "cuantizado" algo; es posible estudiar la ecuación de Klein-Gordan en el contexto de la teoría de campos clásica o de la teoría de campos cuántica. La diferencia es que, en quantum teoría de campos la $\phi(\vec x, t)$ son operadores que satisfacen algunas relaciones de conmutación canónicas. Por ejemplo, $$ [\hat\phi(\vec x),\hat\pi(\vec y)]=i\hbar\delta(\vec x-\vec y) $$

Pero... ya que está algo implícito en la pregunta... supongamos que tenemos una teoría cuántica.

A continuación, recordemos que en la segunda cuantización un operador puede escribirse como una integral sobre los campos cuantizados. Por ejemplo: $$ \hat {\vec P} \sim \int d^3x \hat\phi(\vec x)i\nabla \hat\phi(\vec x)\;, $$ donde $\hat {\vec P}$ es el operador de momento total. Este tipo de ecuación es válida para operadores de una sola partícula como $\hat {\vec P}$ pero no los operadores de dos partículas como, por ejemplo, la interacción electrostática (esos operadores requieren cuatro $\phi$ operadores para expresar en 2ª cuantificación). La ecuación anterior es la forma "cuantificada en segundo lugar" de la siguiente expresión para un sistema fijo de N partículas en "primera cuantificación": $$ \hat {\vec P}=\sum_{i=1}^N\hat {\vec p_i}\;. $$ donde $\hat {\vec p}_i$ es el operador de momento de la i-ésima partícula.

A continuación, hay que precisar lo que se entiende por "fluctuación cuántica". Normalmente, esto significa algo parecido a que la varianza de algún operador es distinta de cero en la teoría cuántica, pero cero en la teoría clásica, o diferente en la teoría clásica. Donde por "la varianza del operador $\hat O$ " Es decir $$ \langle \hat O^2\rangle-\langle O\rangle^2\;, $$ donde el $<...>$ indican los valores de expectativa con respecto a algún estado cuántico (o colección de estados como se especifica, por ejemplo, por una matriz estadística cuántica).

Es importante darse cuenta de que seguimos necesitando estados cuánticos en la teoría cuántica de campos, al igual que en la mecánica cuántica. La pregunta sólo menciona operadores, no estados... así que es un poco ambigua.... Un estado comúnmente considerado es el llamado "estado de vacío" $|0\rangle$ que es el estado que es aniquilado por todos los operadores de aniquilación (que no has definido en tu pregunta, pero asumiremos la definición habitual). Los demás estados con número de ocupación se pueden definir actuando sobre el estado básico con operadores de creación.

Así que, de todos modos, dado algún estado $|\Psi\rangle$ y algún operador $\hat O$ se pueden calcular las "fluctuaciones cuánticas" de la forma habitual que se haría para cualquier sistema mecánico cuántico. Por ejemplo, para el $\hat {\vec P}$ operatorio $$ <P>=\langle \Psi|\int d^3 k a^\dagger(\vec k)\vec k a(\vec k)|\Psi\rangle\;, $$ donde, $\vec k$ es el momento de una partícula.

Si $\Psi$ es algún estado de número de ocupación definido como, por ejemplo, $$ |\Psi\rangle=a^\dagger(\vec k_1)a^\dagger(\vec k_2)|0\rangle $$ entonces en este caso podríamos calcular el valor de la expectativa como $$ <O>\sim\int d^3k {\vec k} \langle 0|a_{k_1}a_{k_2} a_k^\dagger a_k a_{k_1}^\dagger a_{k_2}^\dagger |0\rangle\;, $$ donde se puede evaluar utilizando las relaciones de conmutación y el álgebra lineal como $$ a_ka_q^\dagger a_p^\dagger|0>=[a_k,a_q^\dagger a_p^\dagger]|0>=(\delta_{k,q}a_p^\dagger+\delta_{k,p}a_q^\dagger)|0> $$