Conexión de centralizador ejercicio

Question

Estoy teniendo problemas para entender la conexión de un grupo de teóricos de la perspectiva.

Deje $G$ ser el simpléctica grupo de dimensión 4 sobre un campo $K$,

$$G = \operatorname{Sp}_4(K) = \left\{ A \in \operatorname{GL}_4(K) : A^T J A = J \right\} \text{ where } J = \left(\begin{smallmatrix}.&.&.&1\\.&.&1&.\\.&-1&.&.\\-1&.&.&.\end{smallmatrix}\right)$$

y deje $C$ ser el centralizador de un determinado unipotentes elemento $t$,

$$C=C_G(t) \text{ where } t = \left(\begin{smallmatrix}1&1&.&.\\.&1&.&.\\.&.&1&1\\.&.&.&1\end{smallmatrix}\right)$$

El ejercicio le pide a uno, Muestran que $t$ no radica en el componente conectado de la identidad cuando la característica de $K$ es de 2. Creo K es algebraicamente cerrado, aunque esto quizás no especificado aquí (y se especifica en cerca de un ejercicio).

Puedo calcular la centralizadores a ser:

$$C_{\operatorname{GL}_4(K)}(t) = \left\{ \left(\begin{smallmatrix}a&b&c&d\\.&a&.&c\\e&f&g&h\\.&e&.&g\end{smallmatrix}\right) : a,b,c,d,e,f,g,h \in K, ag-ec \neq 0 \right\} \cong \operatorname{GL}_2\left(K[dx]/{(dx)}^2\right)$$ $$C_{\operatorname{Sp}_4(K)}(t) = \left\{ \left(\begin{smallmatrix}a&b&c&d\\.&a&.&c\\e&f&g&h\\.&e&.&g\end{smallmatrix}\right) : a,b,c,d,e,f,g,h \in K, ag-ec = 1, ah+bg=cf+de \right\}$$

Yo soy la menor idea de cómo encontrar sus componentes conectados.

¿Cuáles son los componentes conectados de $C_{\operatorname{GL}_4(K)}(t)$$C_{\operatorname{Sp}_4(K)}(t)$?

Especialmente describir el comportamiento excepcional en carácter 2.

Hace que la conexión tiene nada que hacer con ellos que son las matrices?

Yo preferiría un grupo de teóricos de la manera de encontrar los componentes, pero me preocupa que los componentes no tienen nada que ver con las matrices, y sólo dependen de las ecuaciones $ag-ec=1$$ah+bg=cf+de$, independientemente de donde estas variables en la matriz.

Si no tienen nada que ver con la estructura de grupo, entonces ¿por qué me importa si está conectado?

Answer 1

Creo que el reclamo en el OP es un error, porque de lo siguiente : definir para $t \in K$,

$$ p(t)= \left(\begin{smallmatrix}1&t&.0&0.\\0.&1&0.&0.\\0.&0.&1&-t\\.0&0.&0.&1\end{smallmatrix}\right) $$

A continuación, $p$ es polinomial y por lo tanto continua para la topología de Zariski. Como la imagen de un conjunto conectado por un mapa continuo permanece conectado, podemos deducir que $p(K)$ está conectado. Por lo $p(O)=I$ $p(1)=t$ están en la misma componente conectado, (en realidad son "arcwise conectados") contrariamente a la afirmación original.

Answer 2

Yo escribí mis conclusiones en esta breve nota. En breve: el ejercicio es incorrecta. Ambos centralizadores están conectados. He confirmado con los autores que la intención del ejercicio es una exposición de Springer de 1966 resultado que un regular elemento no está en el componente conectado de su centralizador en un par de casos, incluyendo simpléctica grupos de carácter 2. Por desgracia, el elemento que da no es regular. La escueta nota contiene un ejemplo de elemento regular, un cálculo de su centralizador, y la descomposición en sus componentes conectados.

Para encontrar los componentes conectados uno tiene que el factor de la definición de las ecuaciones. Para $C_{GL}$ esto es fácil: son irreductibles, y todo el centralizador es su propio componente irreducible. Para $C_{Sp}$ esto es un poco más difícil ya que los dos polinomios juntos todavía definir un irreductible sistema de ecuaciones polinómicas. El ejercicio fue diseñado para ser fácil: para el elemento regular, el centralizador de los factores en dos obviamente irreductible de los sistemas.

Desde la redacción de la solución, he tenido ayuda, demostrando el centralizador está conectada con más elementales de los métodos, en su mayoría el uso de pre-matemáticas de la década de 1920. Sin embargo, algunos de los detalles son todavía demasiado complicado para justificar el abandono de aquí (donde creo que uno quisiera una clara y sencilla explicación para LVK, y un grupo de teóricos de explicación para mí).

Tan lejos como la importancia de la conectividad en teoría de grupos, este sigue siendo un misterio. Ciertamente, nadie que me ayudaron en el transcurso de varias semanas, se utiliza la estructura del grupo para resolverlo, aunque creo que podría ser posible hacerlo.