He encontrado un conjunto de preguntas de práctica, uno de los cuales le pregunta si o no $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ irreductible implica $f(x^2)$ irreductible.
¿Es esto cierto? Estoy teniendo problemas para pensar de un contraejemplo. Hay una irreductibilidad criterio que podríamos utilizar?
Como Tsemo contestado ya, esto es falso.
Pero ahora usted podría preguntarse si es cierto que $f(x^2)$ es irreducible si se nos da cualquier irreductible $f(x) \in \mathbb Q[x]$$\deg(f) > 1$. Ahora, si $\alpha \in \mathbb Q$ es una raíz de $f(x^2)$, $\alpha^2 \in \mathbb Q$ es una raíz de $f(x)$ y, por tanto, $(x - \alpha^2)$ es un factor de $f(x)$. Esto significa que si $f(x)$ no es lineal, entonces el grado de los factores de $f(x^2)$ debe ser de al menos $2$. Así que busqué ejemplos con $\deg(f) = 2$ $f(x^2)$ tener dos cuadrática factores. Recordando una de factoring truco, me encontré con el siguiente ejemplo.
Tome $f(x) = x^2 + 4 \in \mathbb Q[x]$ que es irreducible, ya que no tiene raíces en $\mathbb Q$. Entonces tenemos, $$ f(x^2) = x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) $$ y por lo $f(x^2)$ no es irreducible.
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