La desigualdad de medios para las funciones

Question

Según la Wikipedia se puede definir la media aritmética de una función integrable $f: M \to \mathbb{R}$ durante un período relativamente compacto de dominio $M$ como:

$$A(f) = \frac{1}{\mu(M)}\int_M f$$

donde $\mu(M)$ es la medida de $M$. Por otra parte, si $f > 0$ también se puede definir su media geométrica como:

$$G(f) = \exp\left(\frac{1}{\mu(M)}\int_M \log f\right)$$

La desigualdad de la media aritmética y geométrica medios es bien conocido el resultado en el caso discreto. ¿Es cierto también en este contexto? Es decir, es cierto que:

$$A(f) \geq G(f)$$

por cada positivo función integrable $f$?

Answer 1

Sí es cierto: el Uso de la desigualdad de Jensen

Y $x\mapsto \exp (x)$ es convexa. Entonces,

$$G(f) = \exp\left(\frac{1}{\mu(M)}\int_M \log f\right)\le \frac{1}{\mu(M)}\int_M \exp(\log f) = A(f)$$

Que es $$G(f) \le A(f)$$

Answer 2

Por la desigualdad de Jensen tiene que para una función cóncava $h$ (generalmente es indicado para funciones convexas con el revés de la desigualdad)

$$h\left(\frac{1}{\mu(M)}\int_M f\right) \ge \frac{1}{\mu(M)}\int_M h(f)$$

Como el $\log$ es cóncava se puede conseguir que la

$$\log \left(\frac{1}{\mu(M)}\int_M f\right) \ge \frac{1}{\mu(M)}\int_M \log(f)$$

Como $e^x$ es el aumento en el $x$ la desigualdad se conserva cuando exponentiating, dando a la

$$e^{\log \left(\frac{1}{\mu(M)}\int_M f\right)} = \frac{1}{\mu(M)}\int_M f \ge \exp\left({\frac{1}{\mu(M)}\int_M \log(f)}\right)$$