En $D_{33}$ es decir, un grupo diedro de orden 66.
¿Cómo puedo averiguar el número de elementos de cada pedido?
La única idea que tengo es que el orden posible de cualquier elemento puede ser 1,2,3,6,11,33,66. Ahora el 1 es sólo para la identidad y como el grupo no es cíclico el 66 no puede ser orden de ningún grupo. Gracias de antemano a todos.
$D_{33}$ es el grupo de simetría del polígono regular $A_1A_2\cdots A_{33}$ con 33 lados. Si $\sigma$ es el generador del grupo cíclico de rotación del polígono y $\tau$ un reflejo del polígono en la altitud que pasa por $A_1$ (pasando por $A_1$ y el punto medio del lado opuesto), entonces $\sigma^{33} = e$ y $\tau^2 =e$ donde $e$ es el elemento de identidad del grupo. También $\tau \sigma = \sigma^{32}\tau$ . A partir de estas relaciones, se puede calcular el orden de cualquier elemento. Obsérvese que los elementos del grupo pueden escribirse como $\tau^i\sigma^j$ , donde $i = 0,1$ y $j = 0,1,\ldots, 32$ .
Existe un índice $2$ subgrupo $C$ que es cíclico de orden $33$ generado por algún elemento $\sigma$ Así que $C=\langle \sigma\rangle$ . Hay otro elemento $\tau$ que tiene orden $2$ . Claramente $\tau\not\in C$ y también es evidente que los dos cosets son $C$ y $\tau C$ . De hecho, podemos tomar $\tau$ para corresponder a la reflexión y $\sigma$ a la rotación, por lo que también tenemos que $\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}$ .
Pregunta 1. ¿Cuántos elementos hay de los pedidos respectivamente? $1$ , $3$ , $11$ y $33$ sur $C$ ?
Pregunta 2. Supongamos que $x\in C$ (posiblemente trivial). ¿Cuál es el orden de $\tau x$ ?
Pregunta 3. Concluya. (Es decir, resuelve por qué la respuesta a las preguntas 1 y 2 responde a tu pregunta).
Toda reflexión es por definición autoinversa, de orden 2.
La menor rotación $r_1$ (que no sea la identidad) genera todas las demás rotaciones de un ciclo, incluyendo alcanzar la identidad después de $33$ pasos. Algunas de las rotaciones tendrán ciclos más cortos, sin embargo, en el patrón clásico de los grupos cíclicos - específicamente, para una rotación generada por $r_1^k$ Será un $11$ -ciclo si $3 \mid k$ , a $3$ -ciclo si $11\mid k$ y un $33$ -ciclo en caso contrario.
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$D_{33} = \langle r,s : r^{33} = 1, rsr = s \rangle$ . De la teoría de los grupos cíclicos, $|r^k| = 33/gcd(33,k)$ . De la segunda relación anterior, $sr^ksr^k = 1$ Así que $|sr^k| = 2$ .
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Gracias, y puede alguien decirme, por favor, cómo puedo demostrar que no hay ningún elemento de orden 6 en este grupo.
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La única posibilidad de un elemento de orden $6$ debe ser $r^k$ Sin embargo, esto debe dividir $33$ que $6$ no lo hace.