Es el siguiente polinomio irreductible sobre Q?

Question

Estoy buscando en un ejercicio diciendo que "Demostrar que x⁴-22x²+1 es reducible sobre Q. ¿tengo el manual de la solución y se resuelve como el siguiente:

Si x⁴-22x²+1 es reducible sobre Z, entonces los factores en Z[x], y por lo tanto debe ya sea lineal factor en Z[x], o factor en dos cuadráticas en Z[x]. Las únicas posibilidades para que un lineal factor x ± 1, y claramente ni 1 ni -1 es un cero del polinomio, por lo que un factor es lineal imposible. Supongamos que x⁴-22x²+1 = (x² + ax + b)(x² + cx + d). Igualando coeficientes, podemos ver que x³ coeficiente : 0 = a + c x² coeficiente : -22 = ac + b + d x coeficiente : 0 = ac + ad término constante : 1 = bd por lo tanto b = d = 1 o b = d = -1. Supongamos que b = d = 1. Luego -22 = ac + 1 + 1 entonces ac = -24. Debido a que a + c = 0, tenemos a = −c, por lo que −c2 = -24 lo cual es imposible para un entero c. Del mismo modo, si b = d = -1, podemos deducir que −c2 = -20, que también es imposible. Por lo tanto el polinomio es irreducible.

Mi pregunta es:

1) ¿Qué significa "más Q"? ¿Cuál es la diferencia entre decir sobre Z y sobre Q?

2) ¿por Qué factor se como (x² + ...)(x² + ...)? No puedo ser como (x³ + ...)(x + ...). También, ¿por qué no nos factor como (ax² + ...)(bx² + ...), me refiero a ¿cómo sabemos que el jefe de los coeficientes son 1?Alguien puede ayudarme con esto?

Gracias

Answer 1

$1.$ Siendo irreductible '$\Bbb Q$ ' significa que no puede ser factorizado como el producto de polinomios (con grado mayor que $0$) con todos los coeficientes en $\Bbb Q$. La diferencia entre la irreductibilidad $\Bbb Z$ $\Bbb Q$ no es debido a (la segunda) de Gauss lema.

$2.$ Si podrían ser considerados como el producto de un polinomio de grado $1$ veces algo más, entonces se tendría una raíz, es decir, la raíz de ese mismo polinomio de grado $1$.

Answer 2

En cuanto a la diferencia entre "$\mathbb{Q}$ " y "$\mathbb{Z}$, no hay una respuesta simple, y una más complicado. La respuesta simple es que la pregunta se refiere a $\mathbb{Q}$. Y si somos curiosos $\mathbb{Z}$, es claro que la irreductibilidad $\mathbb{Q}$ implica irreductibilidad $\mathbb{Z}$.

De hecho, se puede demostrar que la implicación va en la otra dirección: la irreductibilidad $\mathbb{Z}$ implica irreductibilidad $\mathbb{Q}$. Pero esto no es inmediatamente obvio.

Para la otra pregunta, la solución citado lidiaron con la posibilidad de $(x^3+\cdots)(x+\cdots)$. Por las Raíces Racionales Teorema, la única posibilidad racional de la raíz de los candidatos para$x^4-22x^2+1=0$$\pm 1$. Ninguno de los dos trabajos. Así que no hay ningún grado de $1$ polinomio con coeficientes racionales que divide $x^4-22x^2+1$.

Answer 3

1) $\mathbb{Q}$ significa que factorizations puede tener racional de los coeficientes. Si uno se para factorizar este polinomio sobre $\mathbb{Z}$, sólo quisiéramos admitir factorizations en el que el producto de los polinomios tienen coeficientes enteros.

2) Hay un teorema que dice que un polinomio $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ tiene una raíz $\alpha \in \mathbb{Q}$ si y sólo si $P(x) = (x- \alpha)Q(x)$ algunos $Q(x) \in \mathbb{Q}[x]$. Además, mediante la racionalización en el teorema de la raíz, el polinomio $x^{4} - 22x + 1$ sólo tiene raíces $\pm 1$, que no son raíces, como la solución de los estados. Por lo tanto, no hay lineal factorizations de $x^{4} - 22x + 1$, por lo que la única posibilidad restante de la factorización es un producto de la cuadráticas.

Answer 4

1. Más de $\mathbb Q$ significa que los coeficientes racionales se les permite, no sólo números enteros. De hecho, uno puede mostrar que no son necesarios, pero que tiene que ser demostrado. Supongamos $p(x)q(x)=x^4+22x^2+1$ es un racional factorización. Multiplicar por $n$ a borrar las fracciones, por lo que el $P(x)Q(x)=n(x^4+22x^2+1)$ es una ecuación con coeficientes enteros. Ahora supongamos $p$ es un primer factor de $n$. Entonces, comenzando con el más alto poder de $x$ y los coeficientes de la factorización, es posible demostrar que $p$ es un factor de cada coeficiente de cualquiera de las $P(x)$ o $Q(x)$. Uno, a continuación, cancela la $p$ desde ambos lados. Finalmente, cada factor de $n$ se cancela, y nos quedamos con un entero factorización de la ecuación original.

2. Si $p(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)(x+e)$ $p(-e)=0$ $e$ es una raíz de la ecuación.