Área de un círculo en la esfera

Question

En un (plano) plano Euclidiano, el área de un círculo con un radio de $r$ puede ser descrito por la función de $A(r) = \pi r^2.$

Pero ¿cómo se puede describir el área de el mismo círculo en un esférica colector? Suponiendo que el radio de la esfera es una distancia Euclidiana de $d,$ cómo iba a $A(x)$ look?

Estoy asumiendo que este se puede encontrar utilizando el cálculo y/o funciones trigonométricas, pero no estoy exactamente seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Si $S$ es una esfera de radio $R$ en Euclidiana espacio de tres, $p$ es un punto de $S$, e $S'$ es una esfera de radio $r$, $0 < r \leq 2R$, centrada en $p$, entonces el área de la porción de $S$ dentro $S'$$\pi r^{2}$. (!)

(Una descripción detallada de argumento es dado en mi respuesta a ¿por Qué los discos en los planos de crecer más rápidamente con el radio de los discos en las esferas?. Me enteré de esta ingeniosa hecho camino de regreso de Cálculo Vectorial por Marsden y Tromba.)

Si en lugar de la "radio" $0 < r \leq \pi R$ de un disco en una esfera de radio $R$ se mide intrínsecamente (como una longitud de arco de un gran círculo a lo largo de la esfera), la zona es $$ 2\pi R^{2}\left(1 - \cos\frac{r}{R}\right), $$ como puede ser demostrado por el cálculo simple.

Answer 2

Depende de cómo se defina $r$. Si $r$ es la longitud del arco de la esfera, entonces su área es todavía $\pi r^2$. Si $r$ es el radio en el plano, es necesario calcular la longitud del arco dado por un punto en el círculo, y la intersección entre la esfera y la línea que pasa por el centro de la esfera y el centro del círculo. Para el radio de la esfera $d$, la longitud del arco id $d\theta$ donde $\sin(\theta)=r/d$. La zona de "el círculo" es $\pi d^2 \theta^2$

Mi error. Aquí está la solución: Supongamos que usted llame a $r$ de la longitud del arco a lo largo de la esfera, y $x$ la radio en el plano. En una posición $l$ a lo largo del arco, $x=d\sin(\theta)$ donde $\theta=l/d$. Una pequeña franja en el ámbito de la anchura $dl$ área $2\pi x dl$. Entonces $$A=2\pi d\int_0^l dl \sin(l/d)=2\pi d^2\int_0^{l/d} dy \sin(y)=2\pi d^2(1-\cos(l/d))$$ Para $l=\pi d$, $\cos(\pi)=-1$, por lo $A=4\pi d^2$ Para $d\rightarrow \infty$, deberíamos recuperar la geometría del plano. $\cos(l/d)\approx1-l^2/d^2/2$, lo $A=\pi l^2$