¿Cómo interpretar las observables de espín construidas mediante elecciones de fase no estándar?

Question

Si intentamos encontrar elementos matriciales de operadores de escalera ( $J_{\pm}$ ) para el espín cuando actúan sobre estados propios de $J^2$ y $J_z$ ( $\newcommand{ket}[1]{\left|#1\right\rangle} \newcommand{avg}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \ket{\ j,m}$ ), como por ejemplo A.R. Edmonds: Angular Momentum in Quantum Mechanics, o Auletta: Quantum Mechanics, o cualquier otro libro de texto que trate este tema, llegamos a un punto en el que nos encontramos con que:

$$J_{\pm} \ket{\ j,m}=e^{i\phi} \hbar \sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)} \ket{\ j,m\pm1}$$

Normalmente, fijamos $\phi=0$ para todas las elecciones de m para un j fijo. Ahora bien, la explicación estándar para esto es que la elección de la fase es arbitraria pero debe seguirse de forma coherente (por ejemplo, Edmonds o Condon, Shortley).

Me gustaría señalar algunos problemas con estas explicaciones y luego mostrar lo que sucede si tratamos de jugar con la elección de fase. El punto más importante será que permitiremos la elección de una fase diferente $\phi=\phi(m)$ para diferentes m frente a la elección de la misma fase para cada m (cuyo caso especial es la elección estándar de $\phi=0$ para todos los m). Esta idea proviene del hecho de que no hay ninguna razón (al menos obvia) para afirmar que se deduce de la derivación estándar de los elementos matriciales de los operadores de escalera que las fases deben ser las mismas para todos los m's.

Veremos el ejemplo de las matrices spin=1. La elección estándar de $\phi=0$ para todos los elementos de la matriz se obtienen las siguientes matrices de operadores de escalera y, a continuación, los observables de espín en dirección z,x e y:

$$j_z=\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&-1 \end{bmatrix}, j_+=\sqrt{2} \begin{bmatrix} 0 & 1&0\\ 0& 0&1\\ 0& 0&0 \end{bmatrix}, j_-=\sqrt{2}\begin{bmatrix} 0 & 0&0\\ 1& 0&0\\ 0& 1&0 \end{bmatrix},$$

$$j_x=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1&0\\ 1& 0&1\\ 0& 1&0 \end{bmatrix}, j_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 & -i&0\\ i& 0&-i\\ 0& i&0 \end{bmatrix}$$

Ahora bien, si optamos por fijar la fase para $j_+\ket{1,0}$ a 0, $\phi(m=0)=0$ pero para $j_+\ket{1,-1}$ lo ponemos en una fase diferente, $\phi(m=-1)=\pi/2$ construimos las siguientes matrices:

$$j_z^{(2)}=j_z=\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&-1 \end{bmatrix}, j_+^{(2)}=\sqrt{2} \begin{bmatrix} 0 & i&0\\ 0& 0&1\\ 0& 0&0 \end{bmatrix}, j_-^{(2)}=\sqrt{2}\begin{bmatrix} 0 & 0&0\\ -i& 0&0\\ 0& 1&0 \end{bmatrix},$$

$$j_x^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & i&0\\ -i& 0&1\\ 0& 1&0 \end{bmatrix}, j_y^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 & 1&0\\ 1& 0&-i\\ 0& i&0 \end{bmatrix}$$

Ahora, para dejar las cosas claras, debo señalar que el nuevo $j_x$ y $j_y$ tienen los mismos valores propios que los estándar y satisfacen la misma álgebra antigua del momento angular, aunque sus estados propios son diferentes. Como resultado, los valores esperados de estos diferentes observables son diferentes en algunas superposiciones de $\ket{1,m}$ lo cual es interesante, ya que es lo que observamos en los experimentos.

A modo de ejemplo, he aquí un gráfico que muestra cómo los valores esperados de $j_x$ y $j_y$ sobre el estado $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\ket{1,1}+\ket{1,0}+\ket{1,-1}\right)$ cambio cuando mantenemos la fase $\phi(0)=0$ (igual que arriba) pero cambiamos $\phi(-1)$ (que para las matrices anteriores se establece en $\pi/2$ ). En el gráfico, $\avg{j_x}$ está en rojo y $\avg{j_y}$ está en azul.

Como contraste, he aquí un gráfico que muestra cómo los valores esperados de $j_x$ y $j_y$ sobre el estado $\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\ket{1,1}+\ket{1,0}+\ket{1,-1}\right)$ cambian cuando cambiamos ambas fases simultáneamente y por igual: $\phi(0)=\phi(-1)=\phi$ que es la elección de fase considerada de forma estándar (en los libros de texto) y equivale a girar el sistema de coordenadas alrededor del eje z. Esto es evidente en la forma en que los valores esperados de $j_x$ y $j_y$ intercambio a medida que cambiamos $\phi$ . En el siguiente gráfico, $\avg{j_x}$ vuelve a estar en rojo y $\avg{j_y}$ está en azul.

Un punto interesante es que los observables que construimos eligiendo diferentes fases para diferentes elementos matriciales de operadores escalera, es decir. $\phi(0) \neq \phi(-1)$ no puede escribirse como combinación lineal de los operadores estándar (ni siquiera con coeficientes complejos).

Otra cosa interesante a tener en cuenta es que estos observables diferentes surgen sólo para espín>=1, ya que para espín=1/2 sólo un elemento de matriz de los operadores de escalera es diferente de 0.

Mi pregunta es, ¿alguien conoce una interpretación de estos " $j_x$ " y " $j_y$ " que construimos mediante distintas elecciones de fase? Más adelante, ¿alguien conoce algún argumento, que yo desconozca, para elegir la misma fase para cada elemento de la matriz frente a mi elección de fases diferentes (a mí me parece que la elección estándar no es más que un caso especial de una elección más general, pero aún no entiendo cómo interpretar los resultados)?

Answer 1

Debe de haber un error en la forma de calcular los valores de las expectativas.

El hecho de que sus operadores transformados tengan el mismo espectro de valores propios y la misma álgebra proviene de que las redefiniciones de la fase conducen a equivalente unitario es decir, están relacionados por $$\tilde j_+ = U^\dagger j_+ U,\quad \tilde j_- = U^\dagger j_- U,\quad \tilde j_z = U^\dagger j_z U$$ con una matriz unitaria $U$ y los estados en las dos bases (diferentes elecciones de fase) están relacionados por $$\langle \tilde \phi \vert = \langle \phi \vert U, \qquad \vert \tilde \phi \rangle = U^\dagger \vert \phi \rangle.$$ Desde $j_z$ y $j_\pm$ abarcan todo el álgebra del momento angular, cualquier operador que salga del momento angular $\vec J^2$ puede escribirse como una combinación de $j_z$ y $j_\pm$ . Ya que cualquier producto de estos se transformará obteniendo un $U^\dagger$ a la izquierda y un $U$ a la derecha, tenemos $$ \tilde O = U^\dagger O U.$$

Ahora el valor de la expectativa de cualquier operador puede calcularse en ambas bases y encontramos $$ \langle \tilde \phi \vert \tilde O \vert \tilde \phi \rangle = \langle \phi \vert U U^\dagger O U U^\dagger \vert \phi \rangle = \langle \phi \vert O \vert \phi \rangle.$$ Esto es sin elegir ninguna convención de fase específica, pero asegurándonos de que seguimos la convención de forma coherente con la $U$ matrices.

Ahora bien, ya que encuentras una diferencia entre los distintos convenios, debe haber un detalle que has pasado por alto. ¿Recuerdas que si el estado $\vert 1, -1\rangle$ obtiene una fase $\phi$ el estado $\langle 1, -1 \vert$ obtiene la fase $-\phi$ ?