Probando dos resultados sobre el espectro de radio

Question

¿Cómo puedo probar que estos dos teoremas? Además, se puede aplicar a infinito-dimensional espacios, tales como los espacios de Banach?

Teorema 1. Deje $M\in \mathbb{C}_{n\times n}$ ser una matriz y $\epsilon > 0$ ser dado. Hay al menos una matriz de norma $||\cdot||$ tal que $$\rho(M) \leq ||M|| \leq \rho(M) + \epsilon$$ donde $\rho(M) = \max\{|\lambda_1(M)|, \dots , |\lambda_n(M)|\}$ denota el radio espectral de $M$.

Teorema 2. Si $P \in \mathbb{C}_{n\times n}$ $S\in \mathbb{C}_{n\times n}$ son tales que $P = P^2$ $PS = SP$ $$\rho(PS) \leq \rho(S).$$

He utilizado estos resultados en lo finito dimensional espacios y quiere hacer uso de ellos en un espacio de Banach.

Answer 1

Tenga en cuenta que ninguno de sus teoremas de tener sentido en un espacio de Banach. La noción de "matriz de la norma" requiere la norma submultiplicative, es decir, se asume que usted puede multiplicar sus elementos. Por lo que hace a la definición de espectro.

Así, un contexto razonable preguntar a su pregunta es que de una de Banach álgebra.

Realmente no puedo decir nada acerca de la primera pregunta. La prueba en el Cuerno y Johnson es muy específico para las matrices, pero por supuesto no podría ser de otra prueba.

La segunda afirmación se sostiene en cualquier álgebra de Banach: desde $\|PSP\|\leq\|P\|\,\|S\|\,\|P\|$ $$ \rho(PS)=\rho(PSP)=\lim_{n\to\infty}\|(PSP)^n\|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\|P^nS^nP^n\|^{1/n}\\\leq\lim_{n\to\infty}\|P^n\|^{1/n}\lim_{n\to\infty}\|S^n\|^{1/n}\lim_{n\to\infty}\|P^n\|^{1/n}=\rho(P)^2\,\rho(S). $$ Pero como $P^2=P$ cualquier $\lambda$ en el espectro de $P$ va a satisfacer $\lambda^2=\lambda$ (porque $$P^2-\lambda^2 I=(P-\lambda I)(P+\lambda I),$$ so $P^2-\lambda^2 I$ is invertible if and only if $P-\lambda I$ is invertible). So $\rho(P)\leq1$.

Answer 2

El primer resultado es cierto en un unital C*-álgebra, y en particular en el álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert. ($M_n$ puede ser visto como el finito-dimensional caso de esto.) Esto se desprende de un resultado en un ejercicio de Murphy del libro que se le preguntó acerca de la recientemente aquí.

Si $A$ es unital C*-álgebra, entonces para cada a $a\in A$ y cada una de las $\varepsilon>0$, existe un elemento invertible $b$ $A$ tal que $\rho(a)\leq \|bab^{-1}\|<\rho(a)+\varepsilon$. Podemos definir una nueva álgebra de Banach norma en $A$$|x|:=\|bxb^{-1}\|$.

Answer 3

Su Teorema 1 se puede encontrar en el Cuerno y Johnson `Análisis de la Matriz".

Por el Teorema 2, $PS=SP$ implica que los autovalores de a $PS$ son de la forma $\lambda(P)\lambda(S)$ donde $\lambda(P), \lambda(S)$ son algunos de los valores propios de a $P, S$, respectivamente. Ahora desde $P$ es idempotente, sus autovalores son $1$'s y $0$'s.