La interpretación de los vectores propios de producto cruzado

Question

Si fijamos un valor distinto de cero vector $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3$, entonces el lineal mapa de $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{x}$ ha trivial autovectores $\boldsymbol{x}_1=t\boldsymbol{v}$ (donde $t\neq 0$) con cero como su correspondiente autovalor, y está claro que no hay ningún otro real vectores propios.

Si uno establece la matriz de la asignación, y calcula los otros dos vectores propios, uno encuentra que para cualquier $t\neq 0$, $$\boldsymbol{x}_2=t(v_1v_2-iv_3,-v_1^2-v_3^2,v_2v_3+iv_1)$$ y $$\boldsymbol{x}_3=t(v_1v_2+iv_3,-v_1^2-v_3^2,v_2v_3-iv_1)$$ son vectores propios correspondientes a los valores propios $\pm i|\boldsymbol{v}|$.

Mi pregunta es si hay alguna forma intuitiva de interpretar los dos vectores propios complejos. (Por ejemplo, el complejo de vectores propios de a $2\times 2$-matriz de rotación tiene una buena interpretación geométrica como la denominada circular de puntos en la geometría proyectiva. Este es el tipo de interpretación que yo busco.)

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Actualización:

El lineal mapa de $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{x}$ es la composición de una proyección sobre el plano con normal $\boldsymbol{v}$, seguida de una rotación por $\pi/2$ radianes en ese plano, y una corrección de la longitud. Los vectores $\boldsymbol{x}_1$ $\boldsymbol{x}_2$ anteriores son claramente vectores propios a la proyección, y therefire también deben ser vectores propios de la rotación (ya que son vectores propios de la composición). Esto sugiere una conexión con el complejo de vectores propios de a $3\times 3$-matriz de rotación. Todavía estoy interesado en la interpretación de este.

Answer 1

Esta no es una interpretación, sino una sugerencia sobre posibles generalizaciones.

Uno puede mirar a los vectores $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$ $\mathbb{R}^3$ $2\times2$ traceless hermitian matrices $$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{cc}v_z & v_x-iv_y \\ v_x+iv_y & -v_z\end{array}\right),$$ que forma de Mentir álgebra $su(2)$. Tenga en cuenta que$\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac12\mathrm{tr}\left(\mathbf{uv}\right)$$\vec{u}\wedge\vec{v}\mapsto\frac{1}{2i}[\mathbf{u},\mathbf{v}]$.

Para recoger un vector $\vec{v}$ puede ser visto como la fijación de Cartan (máxima conmutativa) subalgebra de $su(2)$. Luego de dos trivial vectores propios que corresponden a la subida y bajada de los operadores con respecto a este subalgebra. En la estructura de la teoría de álgebras de Lie, tales vectores propios se denominan raíces. Su estudio permite dar una clasificación completa de semisimple álgebras de Lie.