El espacio de Hilbert, denso, complemento ortogonal.

Question

Supongamos $H$ es un espacio de Hilbert, $A$ $B$ son dos subespacios. $A$ es cerrado y $B$ es densa.

Si $A^\perp \cap B=\{0\}$, o en otras palabras, $\forall b\in B$, la proyección de a $A$ no $0$, podemos concluir que el $A$ es todo el espacio?

Gracias,

Answer 1

Si $B = H$, podemos concluir que. De lo contrario, elija un $x \in H \setminus B$, y considerar la posibilidad de $A = x^\perp$. A continuación,$A^\perp = \operatorname{span} \{x\}$, por lo tanto $A^\perp \cap B = \{0\}$, pero $A \neq H$.