Necesito ayuda para resolver las series recursivas definidas por $x_1 = \sin x_0$ y $x_{n+1} = \sin x_n$

Question

$x_1 = \sin x_0 > 0$

$x_{n+1} = \sin x_n$

Prueba

$\lim_{x \to \infty }$ $\sqrt{\frac{n}{3}} $ $x_n = 1$

teniendo el problema de tratar de averiguar qué valor para el $x_0$ comienza en.

Answer 1

Utilice Teorema de Stolz :

$$nx_n^2=\frac{n}{\frac{1}{x_n^2}}\to\frac{n+1-n}{\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}}=\frac{x_{n+1}^2x_{n}^2}{x_{n}^2-x_{n+1}^2}=\frac{x_n^2\sin x_n^2}{x_n^2-\sin^2x_n}=\frac{\sin^2x_n}{1-\frac{\sin^2x_n}{x_n^2}}$$

Por $\sin x\sim x,\displaystyle\frac{\sin x}{x}\sim 1-\frac{x^2}{3!}$ y $x_n\to 0$ puede obtener $nx_n^2\to3$

Supongo que $x\to\infty$ es un error tipográfico, que debería ser $n\to\infty$