Es $B = A^2 + A - 6I$ invertible al $A^2 + 2A = 3I$?

Question

Dado: $$A \in M_{nxn} (\mathbb C), \; A \neq \lambda I, \; A^2 + 2A = 3I$$

Ahora vamos a definir: $$B = A^2 + A - 6I$$

La pregunta:

Es $B$ inversable?

Ahora, lo que hice es esta:

$A^2 + 2A = 3I \rightarrow \lambda^2v + 2\lambda v = 3v \rightarrow \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -3$

Es lo que me sugiere la correcta? Yo sé que si es así, acabo de hacer lo mismo con B y calcular el determinante.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} (A-I)B &=(A-I)(A^2+A-6I)\\ &=(A-2I)(A^2+2A-3I)\\[4pt] &=0 \end{align} $$ Por lo tanto, a menos que $A=I$, y por lo tanto, $B=-4I$, $(A-I)B=0$ implica que $B$ no es invertible.

Aclaración: Supongamos que $B^{-1}$ existe, entonces $$ \begin{align} A-I &=(A-I)BB^{-1}\\ &=0B^{-1}\\[6pt] &=0 \end{align} $$ Por lo tanto, si $B^{-1}$ existe,$A=I$. Este es el contapositive de la "si $A\ne I$, $B$ no es invertible".

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Un poco de explicación

He utilizado el de Euclides-Wallis Algoritmo para probar y escribir $(A^2+A-6I)x+(A^2+2A-3I)y=I$ a calcular una inversa de a $A^2+A-6I\bmod A^2+2A-3I$: $$ \begin{array}{c|c} &&1&-A+I\\\hline 1&0&1&A-I\\ 0&1&-1&-A+2I\\ A^2+A-6I&A^2+2A-3I&-A-3I&0 \end{array} $$ Por desgracia, esto demostró que el $A+3I$ fue el MCD de a$A^2+A-6I$$A^2+2A-3I$. Sin embargo, este hecho demuestra que $$ (A-I)(A^2+A-6I)-(A-2I)(A^2+2A-3I)=0 $$ que fue utilizado en la respuesta anterior.

Answer 2

$B=A^{2}+A-6I$

$B=(A+3I)(A-2I)$

$det(B)=det(A+3I)det(A-2I)$

ahora la atención :

$A^{2}+2A=3I$

$A^2+2A-3I=0$ $\to$ $det(A+3I)det(A-I)=0$

$A^2+2A-3I-4A+4I=-4A+4I$

$(A-I)^2=-4(A-I)$ $\to$ $if det(A-I)=-4$ entonces B willnot ser inversable

en otras palabras, si -3 o 2 se eigen valor de a, entonces B no se inversable

Answer 3

Sugerencia: Uso de la forma normal de Jordan para $A$.

Answer 4

$A$ es una raíz del polinomio $x^2 + 2x - 3=(x-1)(x+3).$

Desde $A$ no es de la forma $\lambda I,$ este es el polinomio mínimo de a $A.$ En consecuencia, $-3$ es un autovalor de a $A.$

$$\color{red}{B=A^2 + A - 6I=A^2+2A-3I-A-3I=-A-3I}$$

$-3$ es un autovalor de a $A\implies\det(A+3I)=0\implies\det(-B)=0\implies\det B=0.$