Compactification de Colectores

Question

Se sabe que para cualquier localmente compacto Hausdorff espacio X, podemos definir un Hausdorff en un punto de compactification contiene X. En el caso de la (diferenciable) colector $\mathbb R^n$ esta en un punto de compactification resulta ser (homeomórficos a) $\mathbb S^n$, que es de nuevo un (diferenciable) colector.

Esto nos lleva a la siguiente pregunta:

Lo que hace que la imagen se vea como en el caso general, para compactifications de un arbitrario colector $M$?

Aunque el punto de compactification de $M$ no es un colector en general (por ejemplo,$\mathbb R^n - 0$); es posible ver cada colector abierto (denso?) subconjunto de un pacto colector tomando algún otro tipo de compactification? En el diferenciable caso? En el $C^0$-caso?

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Yo había pensado que a lo largo de las siguientes líneas al principio: Por el Whitney incrustación teorema, cada colector $M$ puede ser considerado como un cerrado submanifold de $\mathbb R^n$ algunos $n$. Y mediante la incorporación de $\mathbb R^n$ a $\mathbb S^n$, podemos pensar de $M$ integrado submanifold de un compacto de colector. Pero supongo que teniendo el cierre de $M$ $\mathbb S^n$ no, en general, nos dejan con un colector de más (?), así que esto no responde a mi pregunta...

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Esto se ha mirado?

Gracias por los pensamientos.

S. L.

Answer 1

Sólo para tomar esta cuestión de los "sin respuesta" de la lista. (En realidad, fue respondida en los comentarios.)

(1). El ejemplo más simple de un colector que no es homeomórficos a un subconjunto abierto de un compacto de colector es un infinito discontinuo de la unión de los círculos.

(2). Si desea que la conexión de un ejemplo, a continuación, aparece por primera vez en la dimensión 2: Si una superficie conectada $S$ tiene una infinidad de género, entonces no es homeomórficos a un subconjunto de una superficie compacta. Esto es intuitivamente claro, pero yo, sin embargo, dar una prueba de que funciona en todas las dimensiones.

Desde $S$ tiene una infinidad de género, la imagen de la natural mapa $$ \phi: H^1_c(S; {\mathbb R})\H^1(S; {\mathbb R}) $$ tiene una infinidad de rango (cada "mango" en $S$ contribuye en un 2-dimensional subespacio). Supongamos que $S\to T$ es una incrustación de $S$ a una superficie compacta $T$. A continuación tenemos el diagrama conmutativo $$ \begin{array}{ccc} H^1_c(S; {\mathbb R}) & \stackrel{\phi}{\to} & H^1(S; {\mathbb R})\\ \psi\downarrow & ~ & \eta\uparrow \\ H^1_c(T; {\mathbb R}) & \stackrel{\cong}{\to} & H^1(T; {\mathbb R}) \end{array} $$
(Tenga en cuenta que la inducida por los mapas de ordinario y de forma compacta compatible cohomology de los grupos de ir en direcciones opuestas, esto es lo que se utiliza en la prueba.) Desde $H^1(T, {\mathbb R})$ es finito-dimensional, la imagen de $\eta\circ \psi$ es también finito-dimensional, la cual es una contradicción.

Lo que no sé, sin embargo, es si cada noncompact contráctiles colector admite un abrir incrustación en algunos compacto colector.