La prueba de una desigualdad entre el $\frac 1{n+1}$ $\frac 1n$ y una integral definida

Question

Para todos los números naturales $n$, demuestran que, a $$\frac 1{n+1} < \int_n^{n+1} \frac 1t \, dt < \frac 1n$$

He tratado de trabajar con $\frac 1{t+1} < \frac 1t < \frac 1{t-1}$, pero esto no ayuda. El resultado que se obtuvo $$\log (\frac{k+2}{k+1}) < \int_n^{n+1} \frac 1t \, dt < \log (\frac k{k-1})$$

Answer 1

Para $t \in (n, n+1)$, $$\frac{1}{n +1} < \frac{1}{t} < \frac{1}{n}.$$ Integrar de $n$ $n + 1$para obtener el resultado deseado. (bien hecho mejorar tu pregunta)

Answer 2

Si $n < t < n+1 \to \dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{t} < \dfrac{1}{n} \to \dfrac{1}{n+1} = \displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1} dt < \displaystyle \int_{n}^{n+1} \dfrac{1}{t}dt<\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n}dt=\dfrac{1}{n}$

Answer 3

También puede hacer esto de forma gráfica mediante el dibujo de $y=\frac1x$ , y la correspondiente rectángulos como se muestra a continuación.

es decir. Área de AFDC < area bajo la curva < Area de EBDC