Expresar como una suma infinita $ \int^1_0 \frac{\ln(x)}{1-x^2}\,dx $

Question

Tengo este problema de mi clase de cálculo II. La pregunta pide expresar como una suma infinita $$ \int^1_0 \frac{\ln(x)}{1-x^2}\,dx $$ Hasta ahora he intentado reescribir el denominador como una serie de potencias y luego multiplicarlo por el numerador lo que da $$ \int^1_0 \sum_{k=0}^{\infty}\ x^{2k}\ln(x)$$ A partir de aquí hice la integración por partes que es donde no estoy seguro de cómo proceder. Lo que he hecho es considerar la integral en la suma como una integral impropia y tomar el límite como $x$ se acerca a cero. El valor de este límite es cero. ¿Es suficiente en este punto decir que el valor de la suma infinita es cero?