F_q-estructuras en los esquemas de

Question

Deje $k|\mathbb{F}_q$ ser una extensión de campo. Una $\mathbb{F}_q$-estructura en un $k$-álgebra $A$ $\mathbb{F}_q$- subalgebra $A _0$ $A$ tal que $A _0 \otimes _{\mathbb{F}_q} k \cong A$ a través de la canónica de morfismos $a \otimes \lambda \mapsto a \lambda$.

Ahora, mi pregunta es si esta noción puede ser correctamente globalizado a $k$-esquemas? Vi a una definición como: $\mathbb{F}_q$- estructura en un $k$- $X$ $\mathbb{F}_q$- $X _0$ tal que $X \cong X _0 \times _{\mathrm{Spec}(\mathbb{F}_q)} \mathrm{Spec}(k)$ $k$- de los programas (véase, por ejemplo, "las Representaciones de grupos finitos de tipo de Mentira" por Digne y Michel, donde $\cong$ es incluso reemplazado por $=$). Pero mi problema es que aquí la elección de la canónica de morfismos como anteriormente no aparecen de manera que en cuñados esta definición no es la misma que la anterior. Es esto un problema?

(La razón por la que me preocupo por esto es que quiero define el (geométrica) Frobenius en un $k$-Esquema de con $\mathbb{F}_q$-estructura como el "cambio de base" de la canónica de Frobenius (elevar al $q$-ésima potencia) en el $\mathbb{F}_q$estructura $X _0$.)

Answer 1

Creo que la noción de citar de Digne y Michel no es buena ya que no obtener un bien definido Frobenius. Me sugieren cambiar $X_0$ por un par de $(X_0,p)$ donde $p:X\to X_0$ es una de morfismos de $\mathbb{F}_q$ esquemas que $X$ es un producto $X_0\times_{\mathbb{F}_q} \mathrm{Spec}(k)$ a través de la estructura de morfismos $X\to \mathrm{Spec}(k)$ y a través de $p$. El Frobenius en $X$ será el único mapa $F:X\to X$ $k$- los esquemas que $F\circ p= F_0\circ p$ donde $F_0:X_0\to X_0$ denota la canónica de Frobenius.

Comparar esto con la definición de $k$-álgebras, tenga en cuenta que podríamos definir dos $\mathbb{F}_q$-estructuras de $(X_0,p)$ $(X_0',p')$ equivalentes si existe un isomorfismo $f:X_0\to X_0'$ tal que $fp=p'$. Dos equivalentes $\mathbb{F}_q$-estructuras en $X$ dará lugar a la misma(!) geométrico de Frobenius. En el caso de una $k$-álgebra $A$ $\mathbb{F}_q$- estructura tendrá un único representante de la forma $(\mathrm{Spec}(A_0),p)$ donde $A_0\subset A$ $p$ es inducida por esta inclusión.