Me doy cuenta de que esta pregunta fue etiquetado álgebra-pre-cálculo, trigonometría, así que tal vez mi respuesta es un poco fuera del mapa; pero yo pensaba que este enfoque podría ser vale la pena compartir en cualquier caso, así que aquí va (En mi defensa debo agregar que aunque yo uso el cálculo, evitar la hipótesis de Riemann!):
La desigualdad
$\dfrac{\sin{\theta}+1}{\cos{\theta}}\leq 1, \tag{1}$
es manifiestamente falso en el rango de $0 < \theta < \pi / 2$, y esto es muy fácil de ver: para $0 < \theta < \pi / 2$, $0 < \cos \theta, \sin \theta < 1$; por lo tanto $1 + \sin \theta > 1$, por lo que tenemos
$\dfrac{\sin{\theta}+1}{\cos{\theta}} > 1 \tag{2}$
para $\theta$ en este rango. Sin embargo, la desigualdad
$\dfrac{\sin{\theta}+1}{\cos{\theta}} < 1 \tag{3}$
aplica para $-\pi / 2 < \theta < 0$, a pesar de que las cosas se ponen un poco más difícil. Con un poco de cálculo y las ecuaciones diferenciales podemos obtener una demostración rápida, por lo tanto: definamos $f(\theta)$ así:
$f(\theta) = \dfrac{\sin{\theta}+1}{\cos{\theta}} = \tan \theta + \sec \theta, \tag{4}$
$-\pi / 2 < \theta < \pi / 2$; a continuación,
$f'(\theta) = \sec^2 \theta + (\sec \theta)(\tan \theta) = \sec \theta(\tan \theta + \sec \theta) = (\sec \theta) f, \tag{5}$
y la única solución de (5) por $f(0) = 1$ es
$f(\theta) = \exp(\int_0^\theta \sec \tau \; \mathrm d \tau). \tag{6}$
Para $-\pi / 2 < \theta < 0$, $\int_0^\theta \sec \tau \; \text{d} \tau < 0$, así que tenemos $0 < f(\theta) < 1$ para este intervalo, por lo tanto para $3\pi / 2 < \theta < 2\pi$. Así que hemos cubierto los casos $3\pi / 2 < \theta < 2\pi$$0 \le \theta < \pi /2$. Lo que sucede, por $\pi / 2 < \theta < 3\pi /2$? Bueno, está bastante claro que la $f(\pi) = -1$, y la única solución con esta condición inicial es
$f(\theta) = -\exp(\int_\pi^\theta \sec \tau \; \mathrm d \tau), \tag{7}$
la celebración de $\pi /2 < \theta < 3\pi / 2$. Desde $\exp(\int_\pi^\theta \sec \tau) \; \text{d} \tau > 0$ todos los $\theta \in (\pi / 2, 3\pi / 2)$, $f(\theta) < 0 < 1$ en este intervalo de tiempo así. Resumiendo, podemos ver que $f(\theta) = \tan \theta + \sec \theta = (\sin \theta + 1) / \cos \theta$ satisface:
$f(0) = 1, \tag{8}$
$f(\theta) > 1 \; \text{for} \; 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}, \tag{9}$
$f(\theta) < 0 < 1 \; \text{for} \; \dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{3\pi}{2}, \tag{10}$
$0 < f(\theta) < 1 \; \text{for} \; \dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi. \tag{11}$
Aparentemente $f(\theta) \le 1$ $\theta = 0$, $\theta \in (\pi / 2, 3\pi / 2)$, $\theta \in (3\pi / 2, 2\pi)$.
Tenga en cuenta que si la pregunta hubiera sido encontrar $\theta$ con
$\mid \dfrac{\sin \theta + 1}{\cos \theta} \mid \le 1 \tag{12}$
a continuación, un poco más de trabajo sería necesario, pero creo que la educación a distancia basada en el análisis que he dado aquí, sería de ayuda para ese caso. Os dejo los detalles a mis lectores como un teaser.
Debo decir que en el cierre de ese encuentro ecuaciones tales como
$\exp(\int_0^\theta \sec \tau \; \mathrm d \tau) = \tan \theta + \sec \theta \tag{13}$
más divertido; es por eso que es con la etiqueta de un afortunado $13$!
Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,
y como siempre,
Fiat Lux!!!
