Gauss enteros son el conjunto: $$\mathbb{Z}[\imath] =\{a+b\imath : a,b \in\mathbb{Z} \}$$ Con la norma: $$\mathrm{N}(a+b\imath)=a^{2}+b^{2}.$$ Satisface $\mathrm{N}(\alpha\cdot \beta )=\mathrm{N}(\alpha)\cdot\mathrm{N}( \beta )$
Las unidades de $\mathbb{Z}[\imath]$ son precisamente: $1,-1,\imath,-\imath$
Resultado: Si $p=4k+1$ ( p : prime), hay $x<p$ tal que $p/(x^{2}+1)$
$Theorem$: Si $p$ es un primer con $p=4k+1$ , $p$ es una suma de dos en las plazas. Prueba. Si $p=4k+1$ hay $x<p$ tal que $p/(x^{2}+1)$,$p/(x+\imath)(x-\imath)$.
Tenga en cuenta que, si $p/(x+\imath)$, $(a+b\imath)$ tal forma que: $$(x+\imath)=p(a+b\imath)=pa+pb\imath.$$ Esto implica que $x=pa$, esto es imposible como $x\lt p$.
Por lo tanto,$p\nmid(x+\imath)$, también se $p\nmid(x-\imath)$.
A continuación, $p$ no es una Gaussiana prime, por lo $p = \alpha \beta$$\mathrm{N}(\alpha)\gt 1$$\mathrm{N}(\beta)\gt 1$.
Si $ \alpha=a+b\imath $$\beta=c+d\imath$, obtenemos: $$\mathrm{N}(p)=\mathrm{N}(\alpha \beta)=\mathrm{N}\alpha\cdot\mathrm{N}\beta,$$ lo que implica: $$p^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}).$$
Tenga en cuenta que la última ecuación es un número entero, por lo $(a^{2}+b^{2})|p^{2}$.
Por esta última ecuación $(a^{2}+b^{2}),(c^{2}+d^{2})\neq 1,$ por lo tanto: $$p=a^{2}+b^{2}$$
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Es hermoso! ¿Alguien tiene otra pruebas ?
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