Posible alternativa para encontrar el Área bajo la función floor (aka, la integral de piso(x))

Question

Por lo tanto, tuve que preguntarme a mí mismo la pregunta de cuál es el área bajo la función del suelo, posiblemente, podría ser.

Empecé por medio de gráficas básicas $\mbox{floor}(x)$ función (yo personalmente uso desmos.com para un buen online calculadora gráfica), luego he trazado $y=x$. Yo, entonces, me di cuenta de que la línea de mejor ajuste para el $\mbox{floor}$ función se $x-(1/2)$ o $x-0.5$. Por lo tanto, decidí integrar el resultado con respecto a $x$. Así, terminé con $(x^2 -x)/2$. He probado esto varias veces, y hasta ahora los números son exactos. En resumen: $\mbox{floor}(x)$ ha trendline $x-0.5$. Tomar la antiderivada de la línea de tendencia -> $(x^2 -x)/2$. A continuación, encontrará el área debajo de los pasos.

Yo personalmente tomó analíticamente por mirar los gráficos y manualmente calcular el área debajo de los pasos.

Así que, ¿ustedes qué piensan?

Answer 1

Su fórmula $\dfrac{x^2-x}2$ funciona como una aproximación, pero no como una fórmula real.

Por ejemplo, el área real "en" la función del suelo (por debajo y por encima de la $x$-eje) entre $x=0$ $x=\frac 12$ es cero, pero su fórmula da

$$\left[\frac{x^2-x}2\right]_0^{1/2}=-\frac 18$$

Se que se trata de una aproximación o una fórmula real? Para una fórmula real, reconocer el área por debajo del piso de $x$ (voy a llamar a $\lfloor x\rfloor$) es triangular en el número correspondiente a $\lfloor x\rfloor-1$ además de la fina rectángulo debajo de la gráfica que tiene la altura $\lfloor x\rfloor$ y la anchura $x-\lfloor x\rfloor$. Por lo tanto, el área bajo $f(u)=\lfloor u\rfloor$ $0$ $x$ es

$$\int_0^x \lfloor u\rfloor\,du = \frac{\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor-1)}2+\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor)$$

Que la expresión se puede simplificar en varias formas, por supuesto. Como @DavidK señala en un comentario, mi expresión se convierte en el suyo al $x$ es un número entero: mi primer plazo se convierte en su expresión y mi segundo plazo se convierte en cero desde $x-\lfloor x\rfloor=0$ integral $x$. Su expresión sólo necesita una "corrección" plazo para hacer el trabajo para no integral a $x$. Así que esta puede ser la mejor expresión de su propósito (tenga en cuenta que es muestra de que el error máximo de su expresión es de $\frac 18$):

$$\int_0^x \lfloor u\rfloor\,du = \frac{x^2-x}2+\frac{(x-\lfloor x\rfloor)-(x-\lfloor x\rfloor)^2}2$$

Aquí es un gráfico que muestra la expresión y de la corrigió.

Answer 2

Rory Daulton ya dio una respuesta completa, pero aquí es un poco manera diferente de llegar a un equivalente conclusión.

Comparar la región del plano entre el $x$ eje y el gráfica de la función $f_1(x) = x$. Ahora haga lo mismo para la función de $f_2(x) = \lfloor x \rfloor$. La diferencia entre las dos regiones es una secuencia de triángulos rectángulos que se encuentran a lo largo de la línea de $y=x$. Si $b \geq 0$, el área de los triángulos entre las líneas de $x=0$ $x=b$ es la diferencia entre el $\int_0^b x\,dx$ y $\int_0^b \lfloor x \rfloor\,dx$.

Que es, para calcular el $\int_0^x \lfloor t \rfloor\,dt$ $x \geq 0$ (eligiendo el nombre de $x$ para el límite superior de integración por lo que el resultado es más consistente con la fórmula, y la elección de un nombre diferente para la variable de integración para evitar confusiones), en primer lugar puede encontrar $\int_0^x t\,dt$ y luego restar el área de los triángulos rectángulos. Cada triángulo tiene dos lados de longitud $1$ y el área de $\frac12$, salvo que si $x$ no es un entero, el último triángulo será menor que la de los demás: sus piernas serán sólo $x - \lfloor x \rfloor$. El resultado es $$ \int_0^x \lfloor t \rfloor\,dt = \frac12 x^2 - \frac12 \lfloor x \rfloor - \frac12(x - \lfloor x \rfloor)^2, $$ que es exactamente igual a Rory Daulton de la fórmula. (Lo he comprobado.)