Supongamos $f_{X}(x) = xe^{-x^2/2}$$x>0$$Y = \ln X$. Encontrar la función de densidad de $Y$. Así queremos encontrar $P(Y \leq y)$. Esto es lo mismo que $P(\ln X \leq y)$ o $P(X \leq e^{y})$. Por lo tanto $f_{Y}(y) = f_{X}(e^y)$? O $f_{Y}(y) = F_{X}(e^y)$ desde $P(X \leq x) = F_{X}(x)$?
Respuesta
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Estás en lo correcto hasta el punto en que $P(Y \leq y) = P(\ln X \leq y) = P(X \leq e^y)$. El correcto paso siguiente, sin embargo, es que $F_Y(y) = F_X(e^y)$. Para obtener el $f_Y(y)$, diferenciar ambos lados de esta ecuación con respecto a $y$ (y no olvides usar la regla de Leibniz en el lado derecho).
(En caso de que no recuerde la regla de Leibniz es la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo combinado con la regla de la cadena.)
