Supongamos que $A$ es un Noetherian anillo que contiene un campo $k$ y considerar un ideal $I$ $J =\sqrt{I}$ el radical de $I$. Supongamos que $A/J$ es finito-dimensional espacio vectorial sobre $k$. Estoy tratando de demostrar que esto implica que $A/I$ también es finito-dimensional espacio vectorial sobre $k$.
Yo sé que desde $A$ es Noetherian existe $m$ tal que $J^m \subset I$, por lo que yo estaba pensando considerando la filtración $J^m \subset \cdots \subset J^2 \subset J \subset A$ y, a continuación, diciendo algo como $\dim_k J^i/J^{i+1} = \dim_k A/J$ todos los $i$$i = m$. Entonces yo diría que $\dim_k A/I \le m \cdot \dim_k A/J$ el uso exacto de secuencias como
$$
0 \rightarrow J/J^2 \rightarrow a/J^2 \rightarrow a/J \rightarrow 0.
$$
Si esto funciona, a continuación, $A/I$ es finito-dimensional. Mi problema es con la afirmación de que $\dim_k J^i/J^{i+1} = \dim_k A/J$ que creo que es incorrecto. Es este el enfoque correcto? Parece que algo falta.
