Rotaciones en el estándar de probabilidad espacio

Question

Deje $(I,B,\mu)$ ser el estándar de probabilidad espacio con $I=[0,1]$ , $B=$ los conjuntos de Borel, y $\mu$ es la medida de Lebesgue. Ahora, para cada una de las $n\in N$, vamos a $F_n$ ser la rotación $F_n(x)=x+1/n \pmod 1$. Es correcto que para cada conjunto de Borel $E$ , $ \mu (F_nE\;\triangle\; E)\to0$ como $n\to \infty$?

gracias

Answer 1

Sí. Esto es una consecuencia del hecho de que la traducción (y también de rotación) es continua con respecto a $L^1$. Ver a esta pregunta y su respuesta.

Edit: Otra forma de escribir esto es: vamos a $f = 1_E$ ser la función de indicador de $E$. Queremos mostrar $$\int |f(F_n(x)) - f(x)| d\mu \to 0$$ (you can check that the integrand is the indicator of $F_n E \triángulo E$). In other words, we want to show $f \circ F_n \a f$ in $L^1(\mu)$.

La prueba, como se indica en la respuesta que he enlazado, va como sigue. En primer lugar demostrar que si $g$ es una función continua, tenemos $g \circ F_n \to g$$L^1$. (Continuidad de $g$ muestra que $g \circ F_n \to g$ pointwise, y dominado convergencia hace el resto.) A continuación, elija una continua $g$ $||g-f||_{L^1} < \epsilon$ (lo cual es posible desde $C(I)$ es denso en $L^1(\mu)$). Ahora $$||f \circ F_n - f|| \le ||f \circ F_n - g \circ F_n|| + ||g \circ F_n - g|| + ||g-f||.$$ El tercer término es menos de $\epsilon$, y así es el primero (desde $\mu$ es invariante bajo $F_n$), y el segundo término tiende a 0. Así que tomando el limsup de ambos lados tenemos $$\limsup_{n \to \infty} ||f \circ F_n - f|| \le 2 \epsilon.$$ Pero $\epsilon$ fue arbitraria.