Es $\int_a^a f(x) dx$ siempre cero?

Question

Es el resultado:

$$\int_a^a f(x) \,\text{d}x = 0$$

siempre cero?

Esto parece obvio al principio, pero lo que si $f(x)$ diverge en $x=a$?

Por ejemplo, Wolfram Alpha me dice

$$\int_0^0 \frac{1}{x}\,\text{d}x = 0\qquad (1)$$

Pero: $$\int_0^{1\times10^{-40}}\frac{1}{x}\,\text{d}x = \infty\qquad (2)$$

Como lo que yo puedo decir, que esto sucede, no importa cuán pequeño me puse el límite superior de integración.

Es $(1)$ correcto? ¿Por qué es verdadera, incluso si ambos $f$ y es antiderivada difieren en el punto?

Si no es cierto en general, ¿qué condiciones debe $f(x)$ satisfacer?

Editar

No creo que mi pregunta es un verdadero duplicado de la otra. Mientras que la pregunta sobre la integración en un punto es compartido, mi pregunta es más general, ya que uno se concentra en s específicos (complicado) integral. Me pregunto qué se necesita para general $f(x)$. Si las respuestas a esa pregunta, ni es generalizable a otros integrands.

Answer 1

El ejemplo $f(x) = 1/x$ no es (de Lebesgue) integrable en $(0, a)$ cualquier $a>0$, lo $a\mapsto\int_0^a f(x) \mathrm d x$ necesidad de no ser continua en $a=0$.

Sin embargo, si $f$ es integrable, entonces $a\mapsto\int_0^a f(x) \mathrm d x$ es continua en a $a$ y $$ \lim_{a\to 0} \int_0^a f(x) \mathrm d x = \int_0^0 f(x) \mathrm d x = 0.$$