lo $D_8/D_8$ es isomorfo a

Question

¿Qué es $D_8/D_8$ isomorfo a? Por qué $\,1\,?\,$

Por definición, creo que debería ser $D_8$, ya que el $\,D_8/D_8=\{gD_8|g\in D_8\}=D_8$.

$(D_8/D_8:\;$ el cociente grupo de $D_8$ por sí mismo.)

Answer 1

El proceso de quotienting un subgrupo normal es sólo una forma elegante de la reducción del grupo que estamos trabajando. Voy a tratar de dar una no-respuesta técnica ya que parece empantanado por los detalles en el momento sin una idea de lo que realmente está sucediendo:

Dicen que usted tiene un grupo de $G$ y algunos (normal) subgrupo $Q$. Usted no quiere tratar con $G$ todo por sí mismo, no es demasiado complicado. Usted decide tomar TODOS los elementos de a $Q$ y considera que son "lo mismo". Que es el cociente de los subgrupos $G/Q$.

Por su ejemplo, $D_8$: Usted decide cociente por $D_8$, lo que significa que usted va a empezar a considerar cualquier elemento decido a dar a todos el mismo elemento. A continuación, te dejan con un grupo que sólo ha $1$ elemento! Tiene que ser el trivial grupo.

Para otro ejemplo, ver el$\mathbb{Z} = \{...,-1, 0, 1, 2, ...\}$$2\mathbb{Z} = \{... ,-2, 0, 2, 4, ...\}$. Decidimos cociente por $2\mathbb{Z}$. ¿Qué crees que va a suceder? Bien, terminamos llamando a todos los elementos de una cosa (que llamamos iguala $0$, ya que tienen una buena propiedad que $\mathrm{ E + E = E}$$\mathrm{ E + O = O}$ ), y todos los de la EXTRAÑA elementos de otro ( $1$ ). Todos los números impares son sólo un número más uno de todos modos, ¿verdad? Así que ahora estamos a un grupo de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con dos elementos.

Answer 2

$G/G$ es el conjunto de cosets de $G$ en el mismo en virtud de la operación de coset mulitplication. El cociente $G/G$ es el elemento set $\{G\}$ con la operación de coset multiplicación, y por lo tanto isomorfo al trivial grupo.

Answer 3

El error es que $\{ g D_8 | g \in D_8 \} = \{ D_8 \} \ne D_8$.

Esto se deduce del hecho de que $1 D_8 = D_8$. Todos los cosets son del mismo tamaño como $D_8$ y los subconjuntos de a $D_8$, por lo que por el pidgeonhole principio, deben ser iguales.

Pero aviso que $1 D_8 \in D_8 / D_8$. No es igual a ella.

Answer 4

Sugerencia: tenga en cuenta que $$\left|\dfrac {D_8}{D_8}\right| = \left|D_8/D_8\right| = 1$$

¿Qué tiene que decir con respecto a lo que un elemento del grupo de $D_8/D_8$ debe ser?
Y ¿por qué, entonces, debe ser isomorfo a la trivial grupo?

Tratar de entender mejor cómo "cosets" se definen y cómo cociente grupo se define y cómo estos se relacionan, sino también en qué se diferencian.

Answer 5

$G/G$ es siempre igual a $1$. Esto es debido a que el cociente de grupo es la estructura de la equivalencia de las clases de cosets, no los cosets sí mismos. Este es un grupo, ya que podemos heredar una estructura de grupo de $G$. Por lo $D_8/D_8$ es un grupo de los cosets de $D_8$. No sólo es uno de ellos.