$SU(2)$ medidor de simetría

Question

Tomar el Lagrangiano con un fermión: $$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}_aF^a_{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi$$ cuando el medidor de derivada covariante $D_\mu = \partial_\mu+i\frac{g}{2}t^aW^a_\mu$. El Lagrangiano es invariante bajo un local de $SU(2)$ transformación: $$\psi(x) \rightarrow \exp \left[-i\theta^a(x)t^a \right]\psi(x)$$ $$W^a_\mu(x) \rightarrow W^a_\mu(x) +\frac{1}{g}\partial_\mu\theta^a(x) + \epsilon^{abc}\theta^b(x)W^c_\mu(x)$$

A menudo, se dice que el $W_\mu^a$ se transforma de acuerdo a la adjoint representación de $SU(2)$ pero, ¿cómo podemos decir que en base a la ecuación anterior?

Answer 1

Tenga en cuenta que el finito transformación de: $$W^a_\mu \W^a_\mu + \frac{1}{g} \partial_\mu \theta^ + \epsilon^{abc} \theta^b W^c_\mu$$ es: $$W^a_\mu t^a \a g W_\mu^t^g^{-1} + \frac{i}{g} \partial_\mu g \etiqueta{1}$$ donde: $$g = \exp(-i \theta^t^a) \;\;\; \text{y} \;\;\; [t^t^b] = i \epsilon^{abc} t^c$$ Por lo tanto, el primer término en el lado derecho de la ecuación ($(1)$ transforma bajo el medico adjunto de la representación de la Mentira de grupo. El segundo término no se transforma bajo el medico adjunto de la representación, pero debe ser fácil para comprobar que la transformada medidor de campo de toma valores en el álgebra de la Mentira (sugerencia: una mirada a las transformaciones infinitesimales es el método más fácil para comprobar esto).

En caso de que desee más información en el adjunto de la representación de la Mentira de grupo, puede ser vale la pena mirar esta pregunta.