$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$
Así que tengo un par de preguntas acerca de la diferenciabilidad y continuidad. Por ejemplo vamos a considerar $f(x)=\sin(\frac1x)$. Ésta es definida y continua para $x\neq0$ . Es derivado es $\frac{-\cos(\frac1x)}{x^2}$. Me parece que la derivada es también continua para $x\neq0$. Es eso correcto?
Si es que no, esto significa que $f(x)$ es defferentiable en $(-\infty, 0) \cup (0, + \infty)$? Sé que $f(x)$ no es diferenciable en a $x=0$ porque no está definida allí.
Veamos ahora la función $$ f(x) = \begin{cases} |x|^p\sin(\frac1x) & \text{for }x\ne0, \\ 0 & \text{for }x=0. \end{casos} $$
Aquí hay tres preguntas:
Para que $p$ $f(x)$ continua? Para que $p$ $f(x)$ diferenciable? Para que $p$ $f'(x)$ continua?
Desde $|x|^p\sin(\frac1x)$ $x\neq0$ es producto y de la composición del continuo de las funciones que están todos definidos por $x\neq0$, se deduce que el $f(x)$ es también continuamente para $x\neq0$.
Deje $p=0$. En ese caso para $x\neq0$ i get $f(x)=\sin(\frac1x)$. En ese caso $f(x)$ discontinuo en 0, porque $\lim_{x\to 0}\sin(\frac1x)$ es oscilatinge entre $[-1, 1]$$f(0) = 0$. En otras palabras $\lim_{x\to 0}f(x)$ no existe y no puede ser corregido.
Deje $p<0$. En ese caso para $x\neq0$ i get $f(x)=\frac{\sin(\frac1x)}{|x|^p}$. En ese caso $f(x)$ discontinuo en 0, porque $f(x)=\frac{\sin(\frac1x)}{|x|^p}$ es oscilatinge entre $[-\infty,+ \infty]$$f(0) = 0$. En otras palabras $\lim_{x\to 0}f(x)$ no existe y no puede ser corregido.
Deje $p>0$. Desde $f(x)$ = $|x|^p\sin(\frac1x)$ para $x\neq0$ y es el producto y la composición de continuamente las funciones de $x\neq0$, esto significa que $f(x)$ = $|x|^p\sin(\frac1x)$ está continuamente. Desde $\lim_{x\to 0}|x|^p = 0$ $\lim_{x\to 0}\sin(\frac1x) $ es oscilating entre el $[-1, 1]$, esto significa que $\lim_{x\to 0}f(x) = 0$. También se $f(0)=0$, esto significa que f(x) es continuamente sobre el conjunto de la $R$.
Por lo tanto $f(x)$ es continua para $p>0$.
La siguiente pregunta es: para que $p$ $f(x)$ diferenciable?
Esta es la pregunta que me estoy atascado en. Estoy asumiendo que significa derivable en toda la $R$ , si ese es el caso, entonces la respuesta es $p>0$.
$$f'(x) = \begin{cases} { p|x|^{p-1}\sin(\frac1x)\sgn(x) - \frac{|x|^{p-1}\cos(\frac1x)}{x^2}}& \text{for }x\neq0, \\ 0& \text{for }x=0 \end{cases}$$
Tercera pregunta: Para que $p$ $f'(x)$ continua?. Traté de casa y a mí me parece que para $p\leq1$ $\lim_{x\to 0}{ p|x|^{p-1}\sin(\frac1x)\sgn(x) - \frac{|x|^{p-1}\cos(\frac1x)}{x^2}}$ no existe . Para $p>1$ no sé cómo calcular el límite. Para que vamos a decir $p=3/2$ i get $f'(x) = { p|x|^{\frac12}\sin(\frac1x)\sgn(x) - \frac{|x|^{\frac12}\cos(\frac1x)}{x^2}}$. Mientras que $p|x|^{\frac12}\sin(\frac1x)\sgn(x)$ $0$ no sé cómo calcular el $\frac{|x|^{\frac12}\cos(\frac1x)}{x^2}$, ya que no está definido. Cualquier ayuda se agradece.
