Límite de $(\arcsin x)^{\tan x}$ $x$ tiende a cero por la derecha

Question

Me encontré con un interesante límite no pude resolver:

$$ \lim_{x \to 0^{+}}\left[\arcsin\left(x\right)\right)^{\tan\left(x\right)} $$

Dado que no hemos probado la regla de l'Hôpital sin embargo, tengo que resolverlo sin ella. También, prefiero no uso de métodos avanzados, tales como la serie de taylor (que el rendimiento de $x^x$ aquí).

El teorema del sándwich no (de fácil?) realmente ayuda aquí, ni tampoco el exponente de la función tal y como yo lo veo:

$$ \lim_{x\rightarrow 0+}(\arcsin x)^{\tan\,x} = \lim_{x\rightarrow 0+} e^{{\tan(x)}\ln(\arcsin x)} $$ Aquí de nuevo el exponente es un indefinido plazo $(0 \cdot +\infty)$. A diferencia de todos los límites que practique sin embargo, este logaritmo no tienden a $1$, así que no veo cómo se cancela.

Hay una solución fácil que me estoy perdiendo?

Answer 1

$$\begin{align} \lim \limits_{x\to0^{+}}(\arcsin(x))^{\tan(x)}&=\lim \limits_{x\to0^{+}}e^{\large{\tan(x)\ln(\arcsin(x))}}\\ =e^{\lim_{x\to0^{+}}\frac{\tan(x)}{x}(\arcsin(x)\ln(\arcsin(x)))\frac{x}{\arcsin(x)} }=1\end{align}$$

Observe que $\lim_{x\to0^{+}}\arcsin(x)\ln(\arcsin(x))=-\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\frac{1}{\arcsin(x)})}{{\frac{1}{\arcsin(x)}}}=-\lim_{u\to\infty}\frac{\ln(u)}{u}$

Demostramos este límite al notar: $0\le\frac{\ln(u)}{u}=\frac{1}{u}\int_{1}^{u}\frac{1}{t}dt\le\frac{1}{u}\int_{1}^{u}\frac{1}{\sqrt{t}}dt=\frac{2(\sqrt{u}-1)}{u}=2(\frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{1}{u})$

para $u$ lo suficientemente grande. Por lo que el límite es $0$.

$\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{\arcsin(x)}=\frac{1}{\frac{d(\arcsin(x))}{dx}}|_{x=0^{+}}=\sqrt{1-x^{2}}|_{x=0^{+}}=1$.

También se $\lim_{x\to0^{+}}\frac{\tan(x)}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)}{x}\frac{1}{\cos(x)}=1$.

Answer 2

$$\lim \limits_{x\to0^{+}}(\arcsin(x))^{\tan(x)}=\lim \limits_{x\to0^{+}}e^{\large{\tan(x)\ln(\arcsin(x))}}$$ por lo tanto, $\tan(x)\ln(\arcsin(x))=\tan(x)\ln\left[x(1+\frac{\arcsin(x)}{x}-1)\right]=$ $$\tan(x)\ln(x)+\tan(x)\frac{\ln(1+\frac{\arcsin(x)}{x}-1)}{\frac{\arcsin(x)}{x}-1} \left (\frac{\arcsin(x)}{x} -1\right)$$ el segundo sumando se va a cero, como se $x \rightarrow 0^{+}$, debido a que $(\frac{\arcsin(x)}{x}-1)$ y $\tan(x)$ $\rightarrow 0^{+}$ como $x \rightarrow 0^{+}$, mientras que el factor central tiende a 1. El primer sumando es igual a $x\ln(x)\frac{\tan(x)}{x}$ , lo que tiende a cero. Todo el exponente tiende a cero, por lo que $$\lim \limits_{x\to0^{+}}e^{\large{\tan(x)\ln(\arcsin(x))}}=e^0=1$$