¿Por qué son todos los subconjuntos abiertos no es infinito en extensión?

Question

He estado buscando en la definición de un conjunto abierto, para un espacio métrico. Me han llegado a través de la siguiente definición, un par de veces:

Un conjunto abierto $U$ del espacio métrico $(X,d)$ es un conjunto dado de que $\forall x \in U$ hay al menos un $\epsilon>0$ tal que $\{y|y\in X, d(x,y)\le\epsilon\}\subseteq U$

Para mí que esto significa es que no hay punto final en el borde del conjunto, ya que siempre tiene que haber uno más para la condición anterior para celebrar. Por tanto, el conjunto no puede tener un 'borde' y por lo tanto debe ser infinito en extensión. ¿Por qué es mi razonamiento equivocado.

(Estoy mirando esto desde el plano complejo, en el que la definición dice algo a lo largo de las líneas de "para un conjunto abierto del plano complejo", que me parece que no puede tener un conjunto abierto del plano complejo, a menos que es todo el plano complejo)

Answer 1

En primer lugar, la definición que usted ha escrito no es correcto. El signo '$\le$' debe ser '$<$'.

Ahora, a la respuesta. El conjunto $U=\{z\in\Bbb C:|z|<1\}$ está abierto. Para demostrarlo, tomar cualquier punto de $z_0\in U$. Desde $|z_0|<1$, el número de $r=\frac12(1-|z_0|)$ es positivo, por lo que podemos definir $$V=\{z\in\Bbb C: |z-z_0|<r\}$$

Entonces, para cualquier $z\in V$ hemos $$\begin{align} |z|&=|z-z_0+z_0|\le |z-z_0|+|z_0|\\ &<r+|z_0|=\frac12-\frac12|z_0|+|z_0|\\ &=\frac12+\frac12|z_0|<\frac12+\frac12=1 \end{align}$$

Por lo tanto, $V\subset U$.

Geométricamente (e informalmente hablando, $V$ es un disco abierto centrado en $z_0$ cuyo radio es lo suficientemente pequeño como para ser contenido en $U$. Tenga en cuenta que si se hubiera escrito '$\le$' en la definición de $U$, $U$ tendría una frontera, y cada disco centrado en un punto en la frontera iba a tener una parte en el interior de $U$ y otra parte fuera.