Tres integrales en Peskin del Libro de texto

Question

Peskin del QFT libro de texto

1.página 14

$$\int_0 ^\infty \mathrm{d}p\ p \sin px \ e^{-it\sqrt{p^2 +m^2}}$$

al$x^2\gg t^2$, ¿cómo puedo aplicar el método de la fase estacionaria para obtener el libro la respuesta.

2.página 27

$$\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}p\frac{p\ e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}$$

donde $r>0$

3.página 27

$$\int_{m}^{\infty}\mathrm{d}E \sqrt{E^2-m^2}e^{-iEt}$$

donde $m>0$

Estoy loco por estas integrales, pero el libro de texto no da el progreso.

Answer 1

1. Desde $x\gg p$, podemos ver que $\sin(px)$ es altamente oscilatorio. De hecho, la integral se convierte en

$$\int_0 ^\infty \mathrm{d}p\ p \sin px \ e^{-it\sqrt{p^2 +m^2}}\sim \int_{-\infty} ^\infty \mathrm{d}p\ p\ e^{ipx-it\sqrt{p^2 +m^2}}$$

modulo algún factor de $\pm2/i$. Observa ahora esta integral se asemeja a $\int f(p)\exp(g(p))\,\mathrm{d}p$. Nos encontramos con el punto de $\tilde{p}$ tal que

$$g'(\tilde{p})=0.$$

A continuación, sólo tiene que sustituir a $g(p)$ $g(\tilde{p})+\frac{1}{2}g''(\tilde{p})(p-\tilde{p})^{2}$ y llevar a cabo la integral como un momento de una Gaussiana. Para más información sobre esta aproximación, véase por ejemplo el capítulo correspondiente de Hunter y Nachtergaele del libro (libremente y legalmente disponible).

2. Esto es sólo una transformada de Fourier de $p\,(p^{2}+m^{2})^{-1/2}$.

3. Supongo que se refiere a la Ecuación (2.51) en la página 27. Podemos escribir la integral como

$$I(t) = \int^{\infty}_{m}\sqrt{E^{2}-m^{2}}e^{-iEt}\,\mathrm{d}E.$$

Peskin y Schroeder considerar esta integral como $t\to\infty$. Si consideramos que un cambio de variables para

$$E^{2}-m^{2}=\mu^{2}\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}E = \frac{\mu}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}\mathrm{d}\mu$$

Tenemos

\begin{align} I(t) &= \int^{\infty}_{0} \frac{\mu^{2}}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}e^{-it\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}\mathrm{d}\mu \\ &=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{-\infty} \frac{\mu^{2}}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}e^{-it\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}}\mathrm{d}\mu \end{align}

Vamos

$$f(\mu) = \frac{\mu^{2}}{\sqrt{m^{2}+\mu^{2}}},\quad\mbox{y}\quad \phi(\mu) = \sqrt{m^{2}+\mu^{2}}$$

así

$$I(t)=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{-\infty}f(\mu)e^{-it\phi(\mu)}\mathrm{d}\mu.$$

Observar

$$f(\mu)=\mu\phi'(\mu).$$

Como $t\to\infty$, la integral se convierte en altamente oscilatorio.

Hay dos maneras de abordar el problema a partir de aquí. La primera, imperdonable handwavy pero más rápido: tome la fase estacionaria de la aproximación, y pretender que $f(\mu_{\text{crit}})$ es arbitraria constante.

Los puntos críticos para$\phi$$\mu_{0}=0$$\mu_{\pm}=\pm im$. Nosotros sólo nos preocupamos de la real $\mu$, de modo que Taylor ampliar acerca de $\mu_0$ a de segundo orden:

\begin{align} \phi(\mu)&=\phi(0)+\frac{1}{2!}\phi''(0)\mu^{2}\\ &=m + \frac{1}{2m}\mu^{2} \end{align}

Ahora podemos aproximar la integral como

$$I(t) \sim \int^{\infty}_{-\infty}f(c)e^{-itm}e^{-it\mu^{2}/2m}\mathrm{d}\mu \approx f(c)e^{-itm}\sqrt{\frac{4\pi m}{t}}.\tag{1}$$

La otra aproximación no soluciona $f$. Observe $f(\mu)\sim|\mu|$, por lo que tenemos

$$I(t) \sim e^{-itm} \int^{\infty}_{0}\mu e^{-it\mu^{2}/2m}\mathrm{d}\mu.$$

Tenemos (utilizando integrales de Fresnel)

$$\int^{\infty}_{0}\mu e^{-it\mu^{2}/2m}\mathrm{d}\mu\sim \frac{im}{t}.$$

Por lo tanto

$$I(t)\sim\frac{im}{t}e^{-imt}.\tag{2}$$