Acoplado de ecuaciones diferenciales que surgen en la línea de flujo.

Question

Así, me encontré (no literalmente) a través de estas dos, junto ecuación diferencial dada por:

$$x'(t)=\left(x(t)\right)^2-\left(y(t)\right)^2 $$ $$ y'(t)=2x(t)y(t)$$

Estos ecuación ocurrió cuando yo estaba tratando de encontrar líneas de flujo de un campo vectorial dado por.

$\vec F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\;\; \mid \; \vec{F}(x,y)=(x^2-y^2,2xy) $

Y la línea de flujo está dada por $\vec{r}'(t)=\vec{F}(\vec{r}(t))$ donde $t$ es cualquier parámetro introducido. Y obviamente $\vec{r}(t)=(x(t),y(t))$ , Derecho?

Aquí es más de fondo, si puede ser útil , http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-022-calculus-of-several-variables-fall-2010/lecture-notes/MIT18_022F10_l_17.pdf. Ejemplo 17.10

Y ahora por lo que he probado.

Yo diferenciadas ecuación en términos de $x'(t)$, para obtener,

$$x''(t)=2x(t)x'(t)-2y(t)y'(t)$$

A partir de la ecuación original tenemos $y(t)=\pm \sqrt{(x(t))^2-x'(t)}$

El uso de este y el anterior, para eliminar la $y'(t)$ $y(t)$ a partir de la ecuación $y'(t)=2x(t)y(t)$, sin embargo, no es realmente dando buena expresión.

Cualquier ayuda, para hacer la solución más fácil?

Answer 1

¿qué pasa si hacemos un cambio de variables $$ x = r \cos \theta, y = r \sin \theta. $$ we have $$\begin{align} r'\cos \theta-r \sin \theta \, \theta' &= r^2 \cos (2\theta)\\ r'\sin \theta+r \cos \theta\, \theta' &= r^2 \sin 2 (\theta)\\\end{align} $$

a partir de estos podemos obtener $$r' = r^2\cos \theta, \theta' = r\sin \theta $$ if we divide one by the other we have a separable equation $$\frac{dr}r = \frac{\cos \theta \, d\theta}{\sin \theta}$$ the solution is $$r = c\sin \theta \to x^2 + y^2 =cy$$ lo que representa un círculo.

Answer 2

Alternativamente, se observa que la

$$x'(t) + i y'(t) = (x(t)+iy(t))^2$$

$$x'(t)-iy'(t)=(x(t)-iy(t))^2$$

Así,

$$u'(t) = [u(t)]^2$$

$$v'(t)=[v(t)]^2$$

Donde $x(t)=\dfrac{1}{2}(u(t)+v(t)), y(t)=\dfrac{1}{2i}(u(t)-v(t))$ se encuentran fácilmente.

Answer 3

Una variación de abel respuesta:

Set $z(t)=x(t)+iy(t)$. A continuación, su par de la real Odas es equivalente a un complejo de la educación a distancia $$ z'(t) = z(t)^2 , $$ que se puede resolver por separación de variables: $$ \int \frac{dz}{z^2} = \int dt \iff - \frac{1}{z(t)} = t + C \iff z(t) = -\frac{1}{t+C} , $$ donde $C=a+ib$ es arbitraria en el complejo constante.

Así que la solución $z(t)=x(t)+iy(t)$ es la imagen de una línea horizontal en el complejo de $w$ plano, $w(t)=t+C=(t+a)+ib$, en virtud de la transformación de Möbius $z=-1/w$. Por lo tanto, es un círculo que pasa por el origen con centro en el $y$ eje.